Exercício 3 - Banco de tubos com escoamento cruzado
Um aquecedor de ar consiste em um banco de tubos por onde escoa água quente, enquanto ar atmosférico atravessa o banco em escoamento cruzado. O objetivo é projetar o número de fileiras necessárias para atingir uma temperatura de saída do ar especificada.
Dados geométricos do banco:
  • Diâmetro externo dos tubos: D=16 \mathrm{~mm}
  • Arranjo: quadrado alinhado (in-line)
  • Passo transversal: S_{T}=24 \mathrm{~mm}
  • Passo longitudinal: S_{L}=24 \mathrm{~mm}
  • Número de tubos por fileira: N_{T}=12
  • Comprimento dos tubos: L=1,0 \mathrm{~m}
Condições operacionais:
  • Ar (escoamento cruzado): velocidade de aproximação V=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, temperatura de entrada T_{\text {ar,ent }}=15^{\circ} \mathrm{C}, pressão atmosférica
  • Temperatura de saída desejada do ar: T_{a r, s a i}=40^{\circ} \mathrm{C}
  • Temperatura da superfície dos tubos: T_{s}=70^{\circ} \mathrm{C} (considerar constante devido à alta vazão de água interna)
Propriedades do ar (avaliadas na temperatura média do escoamento):
Ar a 300 K :
\rho\left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) c_{p}(\mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) k(\mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) \mu(\mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s}) \operatorname{Pr}
1,177 1006 0,0263 1,85 \times 10^{-5} 0,707
Ar a 343 K (para correção P r_{s} ):
\begin{gathered} \hline P r_{s} \\\ \hline 0,699 \\\ \hline \end{gathered}
Correlação de Žukauskas para banco de tubos:
\overline{N u}_{D}=C_{1} \operatorname{Re}_{D}^{m} \operatorname{Pr}^{0,36}\left(\frac{P r}{P r_{s}}\right)^{1 / 4}
Constantes para arranjo quadrado alinhado:
Faixa de R e_{D} C_{1} m
10^{3}-2 \times 10^{5} 0,27 0,63
Fator de correção para número de fileiras N_{L}<20 :
N_{L} 1 2 3 4 5 7
C_{2} (alinhado) 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95
O coeficiente corrigido é \bar{h}=C_{2} \cdot \bar{h}_{N_{L} \geq 20}.
Correlação para perda de carga no banco:
\Delta P=N_{L} \chi\left(\frac{\rho V_{\max }^{2}}{2}\right) f
onde \chi=1 para arranjos alinhados. O fator de atrito f depende do número de Reynolds e da razão de passos S_{T} / S_{L}. Para as condições deste problema, utilizar f=0,35.
Pede-se:
(a) Calcular a velocidade máxima no banco e o número de Reynolds correspondente.
(b) Determinar o coeficiente de transferência de calor médio (\bar{h}) para um banco com grande número de fileiras.
(c) Utilizando o método \varepsilon-NTU para escoamento cruzado com C_{\text {max }} misturado e C_{\text {min }} não-misturado, determinar o número de fileiras \left(N_{L}\right) necessárias para atingir a temperatura de saída desejada. Considere o fator de correção C_{2}.
(d) Calcular a perda de carga do ar através do banco e a potência de bombeamento requerida.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados geométricos e de operação (valores do enunciado):
  • Diâmetro externo dos tubos: D=16\\ \mathrm{mm}=0{,}016\\ \mathrm{m}.
  • Arranjo: quadrado alinhado (in-line).
  • Passo transversal: S_T=24\\ \mathrm{mm}=0{,}024\\ \mathrm{m}.
  • Passo longitudinal: S_L=24\\ \mathrm{mm}=0{,}024\\ \mathrm{m}.
  • Número de tubos por fileira: N_T=12.
  • Comprimento dos tubos: L=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade de aproximação do ar: V=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Temperatura de entrada do ar: T_{\mathrm{ar,ent}}=15^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de saída desejada: T_{\mathrm{ar,sai}}=40^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície dos tubos (assumida constante): T_s=70^\circ\mathrm{C}.
Propriedades do ar (avaliadas como indicado):
  • \rho = 1{,}177\\ \mathrm{kg/m^3}
  • c_p = 1006\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
  • k = 0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
  • \mu = 1{,}85\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
  • \mathrm{Pr} = 0{,}707
  • \mathrm{Pr}_s = 0{,}699 (correção)
Correlação de Žukauskas (para arranjo alinhado, faixa dada):
\overline{Nu}_D = C_1\, Re_D^{\,m}\, Pr^{0{,}36}\left(\frac{Pr}{Pr_s}\right)^{1/4},
com C_1=0{,}27 e m=0{,}63 para 10^{3}\le Re_D\le2\times10^{5}.
Fator de correção C_2 para N_L<20 fornecido na tabela (valores para 1,2,3,4,5,7) — usarei interpolação linear quando necessário.
Perda de carga:
\Delta P = N_L\,\chi\,\left(\frac{\rho V_{\max}^2}{2}\right) f,
com \chi=1 (alinhado) e f=0{,}35.
Pede-se:
(a) velocidade máxima no banco V_{\max} e Re_D. \n
(b) coeficiente médio de transferência de calor \bar{h} para banco grande ( N_L\ge20). \n
(c) usando método \varepsilon-NTU (configuração: C_{\max} misturado e C_{\min} não-misturado) determinar N_L necessário para atingir T_{\mathrm{ar,sai}}=40^\circ\mathrm{C}; considerar C_2. \n
(d) perda de carga \Delta P e potência de bombeamento requerida.

Passo 2

Passo (a) — cálculo da velocidade máxima no banco.
Raciocínio físico e fórmula: o fluxo de ar que atravessa cada intervalo transversal do banco (por coluna de tubos) tem vazão volumétrica por largura igual a V\cdot S_T (velocidade de aproximação vezes o passo). A menor área disponível para o fluxo entre cilindros, na seção de gargalo, vale (S_T-D)\times 1 (por unidade de comprimento de tubo). Pela conservação de massa (continuidade), a velocidade máxima no gargalo entre tubos é
V_{\max} = V\cdot\frac{S_T}{S_T - D}.
Agora aplico numericamente:
S_T - D = 0{,}024 - 0{,}016 = 0{,}008\\ \mathrm{m}, \qquad \frac{S_T}{S_T-D}=\frac{0{,}024}{0{,}008}=3.
Portanto
V_{\max} = 5\cdot 3 = 15\\ \mathrm{m/s}.
Cálculo do número de Reynolds de characteristic D:
Re_D = \frac{\rho\,V_{\max}\,D}{\mu}.
Substituindo:
Re_D = \frac{1{,}177\cdot 15\cdot 0{,}016}{1{,}85\times 10^{-5}}.
Calculo intermediário: 1{,}177\cdot 15\cdot 0{,}016 = 0{,}28248. Dividindo por 1{,}85\times 10^{-5}
Re_D \approx 1{,}53\times 10^{4}.
(mais precisamente Re_D\approx 1{,}53\times10^{4}). Isso está dentro da faixa de validade da correlação de Žukauskas.

Passo 3

Passo (b) — determinar \bar{h} para um banco com grande número de fileiras ( N_L\ge20) usando Żukauskas.
Vou primeiro calcular o número de Nusselt médio \overline{Nu}_D pela correlação.
A correção de Prandt é \left(\dfrac{Pr}{Pr_s}\right)^{1/4}. Calculo:
\frac{Pr}{Pr_s}=\frac{0{,}707}{0{,}699}\approx 1{,}01144, \qquad \left(\frac{Pr}{Pr_s}\right)^{1/4}\approx 1{,}0028.
Calculo Pr^{0{,}36}:
Pr^{0{,}36} = 0{,}707^{0{,}36}\approx 0{,}883.
Agora Re_D^{m} com m=0{,}63 e Re_D\approx 1{,}5277\times10^{4}:
Re_D^{0{,}63} \approx 433{,}4\quad(\text{cálculo via logaritmo/exponencial}).á
Substituindo na correlação:
\overline{Nu}_D = 0{,}27\cdot 433{,}4 \cdot 0{,}883 \cdot 1{,}0028 \approx 103{,}6.
Finalmente, o coeficiente convectivo médio para N_L\ge20 é
\bar{h} = \frac{\overline{Nu}_D\;k}{D}.
Substituindo k=0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e D=0{,}016\\ \mathrm{m}:
\bar{h} = \frac{103{,}6\cdot 0{,}0263}{0{,}016}\approx 170{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Portanto, para um banco com grande número de fileiras (sem correção C_2) tem-se \bar{h}\approx 170{,}4\\ \mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 4

Preparação para (c) — conhecer vazão de ar, capacidades térmicas e relação \varepsilon-NTU no caso de superfície isotérmica (água com capacidade muito grande).
Primeiro obtenho a área frontal do banco e a vazão mássica do ar (peguei V e N_T,S_T,L do enunciado).
Largura do banco (espalhamento total):
W = N_T\cdot S_T = 12\cdot 0{,}024 = 0{,}288\\ \mathrm{m}.
Área frontal:
A_{\text{frontal}} = W\cdot L = 0{,}288\cdot 1{,}0 = 0{,}288\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica de ar:
\dot{V} = V\cdot A_{\text{frontal}} = 5\cdot 0{,}288 = 1{,}44\\ \mathrm{m^3/s}.
Vazão mássica de ar:
\dot{m}_{\text{ar}} = \rho\cdot \dot{V} = 1{,}177\cdot 1{,}44 \approx 1{,}695\\ \mathrm{kg/s}.
Capacidade térmica do ar:
C_{\min} = \dot{m}_{\text{ar}}\,c_p \approx 1{,}695\cdot 1006 \approx 1{,}706{,}6\\ \mathrm{W/K}.
Nota física importante e simplificação: o enunciado diz que a temperatura da superfície T_s é mantida praticamente constante pela água quente com grande vazão interna. Isso equivale, na linguagem de trocadores, a ter a vazão do fluido secundário com capacidade térmica muito maior \Rightarrow C_{\max}\to\infty. No caso C_r=C_{\min}/C_{\max}\to 0, a eficácia do trocador para muitas configurações reduz-se à forma (valor de \varepsilon depende só de NTU):
\varepsilon = 1 - e^{-NTU},
onde NTU=\dfrac{UA}{C_{\min}}. Essa expressão pode ser obtida integrando o balanço energético para um fluido que passa por uma superfície à temperatura constante (mostro rapidamente a ideia): escrever dT_{\text{ar}} = -\dfrac{h\,dA}{\dot{m}c_p}(T_{\text{ar}}-T_s) e integrar de A=0 a A=UA/h dá a exponencial acima. Portanto é adequado usar \varepsilon=1-e^{-NTU} quando C_{\max}\gg C_{\min}, como é o caso aqui.

Passo 5

Passo (c) — calcular o número de fileiras N_L necessário.
Primeiro, calcule a eficácia requerida \varepsilon_{\text{req}} a partir dos requisitos de temperatura:
\varepsilon_{\text{req}} = \frac{T_{\mathrm{ar,sai}}-T_{\mathrm{ar,ent}}}{T_s - T_{\mathrm{ar,ent}}} = \frac{40-15}{70-15} = \frac{25}{55} \approx 0{,}454545.
Com \varepsilon = 1 - e^{-NTU} (porque C_r\to 0), resolvo para NTU:
NTU = -\ln(1-\varepsilon_{\text{req}}) = -\ln(1-0{,}454545) = -\ln(0{,}545455)\approx 0{,}607.
Logo o produto global UA requerido é
UA_{\text{req}} = NTU\cdot C_{\min} \approx 0{,}607\cdot 1{,}706{,}6 \approx 1{,}036{,}3\\ \mathrm{W/K}.
Agora relaciono UA com o número de fileiras. Área externa por fileira (todas as tubulações em uma fileira):
A_{\text{fila}} = N_T \cdot (\pi D L) = 12\cdot \pi\cdot 0{,}016\cdot 1{,}0 \approx 0{,}60318\\ \mathrm{m^2}.
Área total para N_L fileiras:
A_{\text{tot}} = N_L\cdot A_{\text{fila}}.
Para N_L\ge20 usaríamos \bar{h} já obtido; mas para N_L<20 o coeficiente é reduzido por um fator C_2. A expressão geral:
UA = \bar{h}_{N_L\ge20}\cdot C_2(N_L)\cdot A_{\text{tot}} = \bar{h}_{\infty}\cdot C_2(N_L)\cdot N_L\cdot A_{\text{fila}}.
Reorganizando para N_L:
N_L = \frac{UA_{\text{req}}}{\bar{h}_{\infty}\,C_2(N_L)\,A_{\text{fila}}}.
Aqui C_2 depende de N_L e foi fornecido na tabela para alguns N_L. Vou resolver por iteração/interpolação.
Valores numéricos conhecidos:
\bar{h}_{\infty}\approx 170{,}4\\ \mathrm{W/(m^2K)},\qquad A_{\text{fila}}\approx 0{,}60318\\ \mathrm{m^2}.
Se eu ignorasse a correção ( C_2=1) teria
N_L^{(0)}=\frac{1{,}036{,}3}{170{,}4\cdot 0{,}60318}\approx 10{,}08.
Ou seja, cerca de 10 fileiras sem considerar redução. Como a tabela dá C_2 menores que 1 para poucas fileiras, o valor real de N_L será um pouco maior que 10.
A tabela dá C_2 para N_L=7 igual a 0{,}95 e para N_L\ge20 vale 1, então faço uma interpolação linear aproximada entre N_L=7 e N_L=20 para estimar C_2(N_L) quando necessário. Aumentando N_L a partir de 7, o incremento por fileira aproximado é
\text{slope} = \frac{1{,}00-0{,}95}{20-7}=\frac{0{,}05}{13}\approx 0{,}003846\\ \text{por fileira}.
Faço uma iteração simples: começo com N_L=10 e encontre C_2 por interpolação:
\Delta N = 10-7 = 3 \quad\Rightarrow\quad C_2\approx 0{,}95 + 3\cdot 0{,}003846 = 0{,}96154.
Com esse C_2:
N_L = \frac{1{,}036{,}3}{170{,}4\cdot 0{,}96154\cdot 0{,}60318} \approx 10{,}47.
Atualizando C_2 para N_L\approx 10{,}47:
\Delta N = 10{,}47-7 = 3{,}47 \quad\Rightarrow\quad C_2\approx 0{,}95 + 3{,}47\cdot 0{,}003846 = 0{,}96335.
Recalculando com esse C_2 N_L\approx 10{,}46. Converge para N_L\approx 10{,}46.
Como o número de fileiras deve ser inteiro e precisamos garantir que a temperatura de saída atingirá pelo menos 40^\circ\mathrm{C}, tomo o teto (arredondamento para cima):
N_L = 11\\ \text{fileiras}.
Verificação rápida (com N_L=11):
  • Interpolando C_2 para N_L=11: \Delta N = 4\Rightarrow C_2\approx 0{,}95+4\cdot0{,}003846=0{,}96538.
  • Área total A_{\text{tot}}=11\cdot 0{,}60318=6{,}63498\\ \mathrm{m^2}.
  • UA = 170{,}4\cdot 0{,}96538\cdot 6{,}63498 \approx 1{,}092{,}1\\ \mathrm{W/K}.
  • NTU = UA/C_{\min}=1{,}092{,}1/1{,}706{,}6\approx0{,}64.
  • \varepsilon = 1-e^{-0{,}64}\approx 0{,}473.
  • Temperatura de saída T_{\mathrm{ar,sai}} = T_{\mathrm{ar,ent}} + \varepsilon (T_s - T_{\mathrm{ar,ent}}) = 15 + 0{,}473\cdot 55 \approx 41{,}02^\circ\mathrm{C} — ou seja, >40^\circ\mathrm{C}, logo 11 fileiras cumprem o requisito com uma pequena margem.

Passo 6

Passo (d) — perda de carga do ar através do banco e potência de bombeamento requerida.
A fórmula dada:
\Delta P = N_L\,\chi\,\left(\frac{\rho V_{\max}^2}{2}\right) f,
com \chi=1, f=0{,}35, N_L=11, \rho=1{,}177\\ \mathrm{kg/m^3} e V_{\max}=15\\ \mathrm{m/s}.
Calculo da pressão dinâmica:
\frac{\rho V_{\max}^2}{2} = \frac{1{,}177\cdot 15^2}{2} = 1{,}177\cdot \frac{225}{2} = 1{,}177\cdot 112{,}5 \approx 132{,}41\\ \mathrm{Pa}.
Multiplicando por f=0{,}35 e por N_L=11:
\Delta P = 11\cdot 0{,}35\cdot 132{,}41 \approx 509{,}8\\ \mathrm{Pa}.
Potência de bombeamento (potência do ventilador) aproximada necessária (assumindo eficiência do ventilador = 100% — não foi dada eficiência no enunciado; se houver eficiência, dividir o resultado por ela):
\dot{W}_{\text{vent}} = \Delta P \cdot \dot{V} = 509{,}8\\ \mathrm{Pa}\cdot 1{,}44\\ \mathrm{m^3/s} \approx 734{,}1\\ \mathrm{W}.
Se desejado, pode-se incluir uma margem para eficiência do ventilador (por exemplo, 60–70%) dividindo por esse fator; mas como o enunciado não dá eficiência, reporto o valor sem correção por eficiência.

Resposta

(a) V_{\max}=15\\ \mathrm{m/s} \,;\, Re_D\approx 1{,}53\times 10^{4}.
(b) \bar{h}_{N_L\ge20}\approx 170{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
(c) Número de fileiras necessárias: N_L = 11.
(d) \Delta P \approx 5{,}10\times 10^{2}\\ \mathrm{Pa} \,;\, potência de bombeamento \dot{W}_{\text{vent}}\approx 7{,}34\times 10^{2}\\ \mathrm{W}.

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