Exercício 3 - Banco de tubos com escoamento cruzado
Um aquecedor de ar consiste em um banco de tubos por onde escoa água quente, enquanto ar atmosférico atravessa o banco em escoamento cruzado. O objetivo é projetar o número de fileiras necessárias para atingir uma temperatura de saída do ar especificada.
Dados geométricos do banco:
Diâmetro externo dos tubos: D=16 \mathrm{~mm}
Arranjo: quadrado alinhado (in-line)
Passo transversal: S_{T}=24 \mathrm{~mm}
Passo longitudinal: S_{L}=24 \mathrm{~mm}
Número de tubos por fileira: N_{T}=12
Comprimento dos tubos: L=1,0 \mathrm{~m}
Condições operacionais:
Ar (escoamento cruzado): velocidade de aproximação V=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, temperatura de entrada T_{\text {ar,ent }}=15^{\circ} \mathrm{C}, pressão atmosférica
Temperatura de saída desejada do ar: T_{a r, s a i}=40^{\circ} \mathrm{C}
Temperatura da superfície dos tubos: T_{s}=70^{\circ} \mathrm{C} (considerar constante devido à alta vazão de água interna)
Propriedades do ar (avaliadas na temperatura média do escoamento):
Ar a 300 K :
\rho\left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right)
c_{p}(\mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K})
k(\mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K})
\mu(\mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s})
\operatorname{Pr}
1,177
1006
0,0263
1,85 \times 10^{-5}
0,707
Ar a 343 K (para correção P r_{s} ):
\begin{gathered} \hline P r_{s} \\\ \hline 0,699 \\\ \hline \end{gathered}
Fator de correção para número de fileiras N_{L}<20 :
N_{L}
1
2
3
4
5
7
C_{2} (alinhado)
0,70
0,80
0,86
0,90
0,92
0,95
O coeficiente corrigido é \bar{h}=C_{2} \cdot \bar{h}_{N_{L} \geq 20}.
Correlação para perda de carga no banco:
\Delta P=N_{L} \chi\left(\frac{\rho V_{\max }^{2}}{2}\right) f
onde \chi=1 para arranjos alinhados. O fator de atrito f depende do número de Reynolds e da razão de passos S_{T} / S_{L}. Para as condições deste problema, utilizar f=0,35.
Pede-se:
(a) Calcular a velocidade máxima no banco e o número de Reynolds correspondente.
(b) Determinar o coeficiente de transferência de calor médio (\bar{h}) para um banco com grande número de fileiras.
(c) Utilizando o método \varepsilon-NTU para escoamento cruzado com C_{\text {max }} misturado e C_{\text {min }} não-misturado, determinar o número de fileiras \left(N_{L}\right) necessárias para atingir a temperatura de saída desejada. Considere o fator de correção C_{2}.
(d) Calcular a perda de carga do ar através do banco e a potência de bombeamento requerida.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados geométricos e de operação (valores do enunciado):
Diâmetro externo dos tubos: D=16\\ \mathrm{mm}=0{,}016\\ \mathrm{m}.
com C_1=0{,}27 e m=0{,}63 para 10^{3}\le Re_D\le2\times10^{5}.
Fator de correção C_2 para N_L<20 fornecido na tabela (valores para 1,2,3,4,5,7) — usarei interpolação linear quando necessário.
Perda de carga:
\Delta P = N_L\,\chi\,\left(\frac{\rho V_{\max}^2}{2}\right) f,
com \chi=1 (alinhado) e f=0{,}35.
Pede-se:
(a) velocidade máxima no banco V_{\max} e Re_D. \n
(b) coeficiente médio de transferência de calor \bar{h} para banco grande (N_L\ge20). \n
(c) usando método \varepsilon-NTU (configuração: C_{\max} misturado e C_{\min} não-misturado) determinar N_L necessário para atingir T_{\mathrm{ar,sai}}=40^\circ\mathrm{C}; considerar C_2. \n
(d) perda de carga \Delta P e potência de bombeamento requerida.
Passo 2
Passo (a) — cálculo da velocidade máxima no banco.
Raciocínio físico e fórmula: o fluxo de ar que atravessa cada intervalo transversal do banco (por coluna de tubos) tem vazão volumétrica por largura igual a V\cdot S_T (velocidade de aproximação vezes o passo). A menor área disponível para o fluxo entre cilindros, na seção de gargalo, vale (S_T-D)\times 1 (por unidade de comprimento de tubo). Pela conservação de massa (continuidade), a velocidade máxima no gargalo entre tubos é
Portanto, para um banco com grande número de fileiras (sem correção C_2) tem-se \bar{h}\approx 170{,}4\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Passo 4
Preparação para (c) — conhecer vazão de ar, capacidades térmicas e relação \varepsilon-NTU no caso de superfície isotérmica (água com capacidade muito grande).
Primeiro obtenho a área frontal do banco e a vazão mássica do ar (peguei V e N_T,S_T,L do enunciado).
Largura do banco (espalhamento total):
W = N_T\cdot S_T = 12\cdot 0{,}024 = 0{,}288\\ \mathrm{m}.
Área frontal:
A_{\text{frontal}} = W\cdot L = 0{,}288\cdot 1{,}0 = 0{,}288\\ \mathrm{m^2}.
Nota física importante e simplificação: o enunciado diz que a temperatura da superfície T_s é mantida praticamente constante pela água quente com grande vazão interna. Isso equivale, na linguagem de trocadores, a ter a vazão do fluido secundário com capacidade térmica muito maior \Rightarrow C_{\max}\to\infty. No caso C_r=C_{\min}/C_{\max}\to 0, a eficácia do trocador para muitas configurações reduz-se à forma (valor de \varepsilon depende só de NTU):
\varepsilon = 1 - e^{-NTU},
onde NTU=\dfrac{UA}{C_{\min}}. Essa expressão pode ser obtida integrando o balanço energético para um fluido que passa por uma superfície à temperatura constante (mostro rapidamente a ideia): escrever dT_{\text{ar}} = -\dfrac{h\,dA}{\dot{m}c_p}(T_{\text{ar}}-T_s) e integrar de A=0 a A=UA/h dá a exponencial acima. Portanto é adequado usar \varepsilon=1-e^{-NTU} quando C_{\max}\gg C_{\min}, como é o caso aqui.
Passo 5
Passo (c) — calcular o número de fileiras N_L necessário.
Primeiro, calcule a eficácia requerida \varepsilon_{\text{req}} a partir dos requisitos de temperatura:
Ou seja, cerca de 10 fileiras sem considerar redução. Como a tabela dá C_2 menores que 1 para poucas fileiras, o valor real de N_L será um pouco maior que 10.
A tabela dá C_2 para N_L=7 igual a 0{,}95 e para N_L\ge20 vale 1, então faço uma interpolação linear aproximada entre N_L=7 e N_L=20 para estimar C_2(N_L) quando necessário. Aumentando N_L a partir de 7, o incremento por fileira aproximado é
Recalculando com esse C_2 dá N_L\approx 10{,}46. Converge para N_L\approx 10{,}46.
Como o número de fileiras deve ser inteiro e precisamos garantir que a temperatura de saída atingirá pelo menos 40^\circ\mathrm{C}, tomo o teto (arredondamento para cima):
N_L = 11\\ \text{fileiras}.
Verificação rápida (com N_L=11):
Interpolando C_2 para N_L=11: \Delta N = 4\Rightarrow C_2\approx 0{,}95+4\cdot0{,}003846=0{,}96538.
Área total A_{\text{tot}}=11\cdot 0{,}60318=6{,}63498\\ \mathrm{m^2}.
UA = 170{,}4\cdot 0{,}96538\cdot 6{,}63498 \approx 1{,}092{,}1\\ \mathrm{W/K}.
Temperatura de saída T_{\mathrm{ar,sai}} = T_{\mathrm{ar,ent}} + \varepsilon (T_s - T_{\mathrm{ar,ent}}) = 15 + 0{,}473\cdot 55 \approx 41{,}02^\circ\mathrm{C} — ou seja, >40^\circ\mathrm{C}, logo 11 fileiras cumprem o requisito com uma pequena margem.
Passo 6
Passo (d) — perda de carga do ar através do banco e potência de bombeamento requerida.
A fórmula dada:
\Delta P = N_L\,\chi\,\left(\frac{\rho V_{\max}^2}{2}\right) f,
com \chi=1, f=0{,}35, N_L=11, \rho=1{,}177\\ \mathrm{kg/m^3} e V_{\max}=15\\ \mathrm{m/s}.
\Delta P = 11\cdot 0{,}35\cdot 132{,}41 \approx 509{,}8\\ \mathrm{Pa}.
Potência de bombeamento (potência do ventilador) aproximada necessária (assumindo eficiência do ventilador = 100% — não foi dada eficiência no enunciado; se houver eficiência, dividir o resultado por ela):
Se desejado, pode-se incluir uma margem para eficiência do ventilador (por exemplo, 60–70%) dividindo por esse fator; mas como o enunciado não dá eficiência, reporto o valor sem correção por eficiência.