Exercício 4 - Projeto de trocador de calor com restrições
Uma unidade industrial necessita de um trocador de calor para resfriar óleo hidráulico utilizando água de torre de resfriamento. Sua tarefa é propor e justificar uma configuração adequada dentre as alternativas disponíveis.
Requisitos de processo:
  • Óleo hidráulico: vazão mássica \dot{m}_{o}=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, temperatura de entrada T_{o, \text { ent }}= 75^{\circ} \mathrm{C}, temperatura de saída requerida T_{o, s a i} \leq 45^{\circ} \mathrm{C}
  • Água de resfriamento: disponível a T_{a, e n t}=25^{\circ} \mathrm{C}, vazão máxima disponível \dot{m}_{a, \max }= 2,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}
Restrições:
  • Comprimento máximo disponível: L_{\text {max }}=8 \mathrm{~m} (limitação de espaço físico)
  • Perda de carga máxima no lado do óleo: \Delta P_{o, \text { max }}=50 \mathrm{kPa} (limitação da bomba existente)
  • Velocidade mínima do óleo: V_{o, \min }=0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (para evitar deposição de contaminantes)
Configurações disponíveis:
Opção A - Trocador tubo duplo em contracorrente:
  • Tubo interno (óleo): diâmetros disponíveis D_{i}=20,25 ou 32 mm (parede de 2 mm )
  • Tubo externo: diâmetro selecionado para manter D_{\text {ext, } i} / D_{e} \approx 1,5
  • Pode-se usar múltiplos passes em série (hairpin)
Opção B - Trocador casco e tubos (1 passe no casco, 2 passes nos tubos):
  • Óleo nos tubos, água no casco
  • Tubos: D_{i}=15 \mathrm{~mm}, D_{e}=18 \mathrm{~mm}, arranjo triangular com passo p_{t}=25 \mathrm{~mm}
  • Número de tubos: 30,50 ou 80
  • Coeficiente do lado do casco fornecido: h_{\text {casco }}=1200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}
Propriedades dos fluidos:
Óleo hidráulico a 60^{\circ} \mathrm{C} :
\rho\left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) c_{p}(\mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) k(\mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) \mu(\mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s}) \operatorname{Pr}
854 2100 0,138 0,028 426
Água a 35^{\circ} \mathrm{C} :
\rho\left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) c_{p}(\mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) k(\mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) \mu(\mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s}) P r
994 4178 0,624 7,2 \times 10^{-4} 4,82
Material dos tubos: aço carbono ( k_{\text {tubo }}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} )
Correlações e dados auxiliares:
Dittus-Boelter (escoamento interno turbulento):
N u_{D}=0,023 R e_{D}^{0,8} \operatorname{Pr}^{n} \quad(n=0,3 \text { para resfriamento })
Sieder-Tate (escoamento laminar, R e<2300, L / D>10 ):
N u_{D}=1,86\left(\operatorname{Re}_{D} \operatorname{Pr} \frac{D}{L}\right)^{1 / 3}\left(\frac{\mu}{\mu_{s}}\right)^{0,14}
Fator de atrito para perda de carga (tubo liso):
\begin{aligned} & f=64 / R e_{D} \quad \text { (laminar) } \\\ & f=0,316 R e_{D}^{-0,25} \quad \text { (turbulento, Blasius) } \end{aligned}
Perda de carga:
\Delta P=f \frac{L}{D} \frac{\rho V^{2}}{2}
Fator de correção F para trocador 1-2 (casco e tubos):
F=\frac{\sqrt{R^{2}+1} \ln \left(\frac{1-P}{1-P R}\right)}{(R-1) \ln \left(\frac{2-P\left(R+1-\sqrt{R^{2}+1}\right)}{2-P\left(R+1+\sqrt{R^{2}+1}\right)}\right)}
onde R=\frac{T_{o, \text { ent }}-T_{o, \text { sai }}}{T_{a, \text { sai }}-T_{a, \text { ent }}} e P=\frac{T_{a, \text { sai }}-T_{a, \text { ent }}}{T_{o, \text { ent }}-T_{a, \text { ent }}}.
Pede-se:
(a) Calcular a carga térmica requerida e a vazão mínima de água de resfriamento.
(b) Para cada opção de configuração, determinar:
  • Regime de escoamento e coeficiente de convecção do óleo
  • Coeficiente global de transferência de calor
  • Área de troca e comprimento necessários
  • Perda de carga no lado do óleo
    (c) Verificar quais configurações atendem simultaneamente todas as restrições impostas.
    (d) Selecionar e justificar a configuração recomendada, considerando aspectos como margem de segurança, facilidade de manutenção, e potencial para expansão futura.
Observação: Este exercício admite múltiplas soluções válidas. A avaliação considerará a coerência dos cálculos, o atendimento às restrições e a qualidade da justificativa técnica apresentada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com todos os dados relevantes (não vou resolver nada ainda).
Dados do processo:
  • Vazão mássica de óleo: \dot{m}_{o}=1{,}2\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperaturas do óleo: T_{o,\text{ent}}=75^\circ\mathrm{C}, T_{o,\text{sai}}\le 45^\circ\mathrm{C}.
  • Água de resfriamento: T_{a,\text{ent}}=25^\circ\mathrm{C}, vazão máxima \dot{m}_{a,\max}=2{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
Restrições:
  • Comprimento máximo disponível: L_{\max}=8\\ \mathrm{m}.
  • Perda de carga máxima no lado do óleo: \Delta P_{o,\max}=50\\ \mathrm{kPa}.
  • Velocidade mínima do óleo: V_{o,\min}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Opções construtivas:
  • Opção A: tubo duplo (contracorrente) — óleo no tubo interno; diâmetros internos possíveis D_{i}=20,\\\ 25,\\\ 32\\ \mathrm{mm} (espessura parede =2\\ \mathrm{mm}). Pode-se usar múltiplos passes (hairpin).
  • Opção B: casco e tubos (1 passe no casco, 2 passes nos tubos) — óleo nos tubos, água no casco; tubos D_i=15\\ \mathrm{mm}, D_e=18\\ \mathrm{mm}, arranjo triangular p_t=25\\ \mathrm{mm}; número de tubos: N=30,50,80; coeficiente do lado casco dado: h_{\text{casco}}=1200\\ \mathrm{W/m^2\cdot K}.
Propriedades fornecidas (tomadas na temperatura média aproximada quando necessário):
  • Óleo (a 60^\circ\mathrm{C}): \rho=854\\ \mathrm{kg/m^3}, c_p=2100\\ \mathrm{J/kg\cdot K}, k=0{,}138\\ \mathrm{W/m\cdot K}, \mu=0{,}028\\ \mathrm{Pa\cdot s}, \mathrm{Pr}=426.
  • Água (a 35^\circ\mathrm{C}): \rho=994\\ \mathrm{kg/m^3}, c_p=4178\\ \mathrm{J/kg\cdot K}, k=0{,}624\\ \mathrm{W/m\cdot K}, \mu=7{,}2\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, \mathrm{Pr}=4{,}82.
Correlações úteis (fornecidas):
  • Dittus–Boelter (escoamento interno turbulento): N u_D=0{,}023\,\mathrm{Re}_D^{0,8}\,\mathrm{Pr}^{n},\quad n=0{,}3\\ (\text{resfriamento}).
  • Sieder–Tate (laminar, Re<2300, L/D>10): N u_D=1{,}86\left(\mathrm{Re}_D\,\mathrm{Pr}\,\frac{D}{L}\right)^{1/3}\left(\frac{\mu}{\mu_s}\right)^{0,14}.
  • Fator de atrito (tubo liso): f=64/\mathrm{Re}_D (laminar), f=0{,}316\,\mathrm{Re}_D^{-0,25} (Blasius, turbulento).
  • Perda de carga: \Delta P=f\frac{L}{D}\frac{\rho V^2}{2}.
  • Resistência de parede (tubo cilindrico) e fórmula para U baseada em área interna (usada adiante):
\frac{1}{U_i}=\frac{1}{h_i}+\frac{D_i}{2k_{\text{tubo}}}\ln\frac{D_o}{D_i}+\frac{D_i}{D_o}\frac{1}{h_o},
onde D_o=D_i+2\,(\text{espessura}) e h_i e h_o são coeficientes convectivos internos e externos, respectivamente.
O que precisa ser calculado (resumo das perguntas):
(a) Carga térmica requerida Q e vazão mínima de água \dot{m}_{a,\min}.
(b) Para cada opção/configuração pedir: regime de escoamento e h do óleo, U, área e comprimento necessários, perda de carga no óleo.
(c) Verificar quais configurações atendem simultaneamente as restrições.
(d) Recomendar uma configuração justificando.

Passo 2

(a) Calcular a carga térmica requerida e a vazão mínima de água.
Explicação didática (como se calcula a carga térmica e por que): A carga térmica Q é a energia por unidade de tempo que o fluido quente (óleo) precisa ceder para atingir a temperatura desejada. Pela conservação de energia, para resfriamento do óleo:
Q=\dot{m}_o c_{p,o}\left(T_{o,\text{ent}}-T_{o,\text{sai}}\right).
Cada termo:
  • \dot{m}_o: vazão mássica de óleo (kg/s),
  • c_{p,o}: capacidade térmica do óleo (J/kg·K),
  • T_{o,\text{ent}}, T_{o,\text{sai}}: temperaturas de entrada e saída do óleo (°C ou K; diferença é a mesma).
Cálculo numérico:
Q = 1{,}2\cdot 2100\cdot(75-45)\\ \mathrm{J/s} =1{,}2\cdot2100\cdot30 =75600\\ \mathrm{W}=75{,}6\\ \mathrm{kW}.
Agora, vazão mínima de água: usamos balanço de energia entre óleo e água:
Q=\dot{m}_a c_{p,a}\left(T_{a,\text{sai}}-T_{a,\text{ent}}\right).
Para obter a vazão mínima teórica de água, assumimos a maior elevação de temperatura possível do lado da água sem violar limites físicos — o limite teórico absoluto em contracorrente é T_{a,\text{sai}}\to T_{o,\text{ent}} (a água sairia na mesma temperatura do óleo quente de entrada), portanto a elevação máxima \Delta T_{a,\max}=T_{o,\text{ent}}-T_{a,\text{ent}}=75-25=50^\circ\mathrm{C}. Assim a vazão mínima teórica é:
\dot{m}_{a,\min}=\frac{Q}{c_{p,a}\,\Delta T_{a,\max}} =\frac{75600}{4178\cdot50}.
Cálculo numérico:
\dot{m}_{a,\min}=\frac{75600}{208900}\approx0{,}362\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: esse é o limite teórico mínimo (pinch extremo). Na prática será necessário maior vazão porque não se alcança exatamente o pinch e por requisitos de LMTD e UA. Mas já mostra que a vazão máxima disponível 2{,}0\\ \mathrm{kg/s} é muito superior ao mínimo teórico, então há margem do ponto de vista de energia.

Passo 3

Método geral de dimensionamento e abordagem adotada (tutorial compacto e justificativa de escolhas).
Explicação didática:
  • Para um trocador de calor com temperaturas e vazões conhecidas, a equação-chave é Q=U A \Delta T_{\text{LM}} F, onde:
    • Q é a carga térmica (W),
    • U é o coeficiente global de transferência (W/m^2K) baseado na superfície escolhida (usarei área interna dos tubos, A_i=\pi D_i L),
    • A é a área de troca (m^2),
    • \Delta T_{\text{LM}} é a diferença logarítmica média de temperatura (LMTD) sem correção,
    • F é fator de correção para trocadores não-ideais (no caso 1-2 do casco-tubos usar a fórmula dada; para contracorrente ideal em tubo duplo F=1).
  • Para obter U preciso dos coeficientes convectivos interno ( h_i, óleo) e externo ( h_o, água). Para o óleo interno estimamos h_i usando correlações apropriadas (Dittus–Boelter se turbulento, Sieder–Tate se laminar). Para a água no casco, quando a Opção B fornece h_{\text{casco}}=1200\\ \mathrm{W/m^2K} usarei este valor; para a Opção A (tubo duplo) não foi dado h do anel externo — usarei como estimativa conservadora h_o\approx1200\\ \mathrm{W/m^2K} (explico: a água em pequeno espaço anular tende a ter coeficiente da mesma ordem ou maior; escolher 1200 é conservador e consistente com dados do casco).
  • Para perda de carga no lado do óleo calculo \Delta P=f(L/D)\rho V^2/2 com f de Blasius (turbulento) ou 64/\mathrm{Re} (laminar).
  • Para o LMTD: uso a entrada/saída do óleo fixas ( 75^\circ e 45^\circ). A temperatura de saída da água depende da vazão adotada — aqui para comparar eu tomo a vazão de projeto como o máximo disponível \dot{m}_a=2{,}0\\ \mathrm{kg/s} (escolha conservadora: mais água aumenta LMTD e facilita atender demanda), e calculo T_{a,\text{sai}} por balanço de energia: T_{a,\text{sai}}=T_{a,\text{ent}}+\frac{Q}{\dot{m}_a c_{p,a}}.
  • Para cascos 1-2 uso o fator de correção F dado (fórmula com R e P).
Observação metodológica: se o escoamento do óleo for laminar (Re<2300) e L/D>10 uso Sieder–Tate pois Nu depende de L, o que introduz dependência do comprimento no próprio h_i. Em muitas configurações com óleo viscoso e tubos pequenos a condição é laminar, o que dificulta a obtenção de alto U — é um ponto crítico.

Passo 4

Calcular temperatura de saída da água assumindo \dot{m}_a=2{,}0\\ \mathrm{kg/s} (usado para LMTD e para comparar configurações).
Cálculo:
T_{a,\text{sai}}=25^\circ\mathrm{C}+\frac{75600}{2{,}0\cdot4178}=25+\frac{75600}{8356}=25+9{,}05=34{,}05^\circ\mathrm{C}.
Com isso, para os cálculos com \dot{m}_a=2{,}0\\ \mathrm{kg/s} obterei LMTD (ou F\cdotLMTD) conforme o tipo de trocador.
Calcular LMTD (contracorrente ideal, sem correção):
\Delta T_1 = T_{o,\text{ent}}-T_{a,\text{sai}} = 75-34{,}05 = 40{,}95^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{o,\text{sai}}-T_{a,\text{ent}} = 45-25 = 20^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_{\text{LM}}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)} =\frac{40{,}95-20}{\ln(40{,}95/20)}\approx29{,}27\\ \mathrm{K}.
Para casco-tubos 1-2 calculo também R e P e o fator F (usado na Opção B). Cálculo numérico (usado adiante):
R=\frac{T_{o,\text{ent}}-T_{o,\text{sai}}}{T_{a,\text{sai}}-T_{a,\text{ent}}}=\frac{30}{9{,}05}\approx3{,}315,\quad P=\frac{T_{a,\text{sai}}-T_{a,\text{ent}}}{T_{o,\text{ent}}-T_{a,\text{ent}}}=\frac{9{,}05}{50}\approx0{,}181.
Inserindo na fórmula de F (numérica) obteve-se F\approx0{,}94. Então para Opção B usarei \Delta T_{\text{LM,cor}}=F\Delta T_{\text{LM}}\approx0{,}94\cdot29{,}27\approx27{,}52\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Agora vamos tratar cada opção separadamente — faço cálculos didáticos e completos, e também verifico velocidade mínima e perda de carga no óleo (requisito crítico).
Opção B — casco e tubos (óleo nos tubos). Vou avaliar os três números de tubos N=30,50,80. Em cada caso: calcular velocidade no tubo, Re, regime, Nu, h_i, U, área total com L=8\\ \mathrm{m} (usar comprimento máximo disponível para verificar se com o maior comprimento possível a configuração atinge a carga Q), e então verificar se é factível.
Passos e fórmulas usados (didático):
  • Vazão por tubo (cada tubo atravessa 2 passes, mas com 2 passes a vazão por tubo acaba sendo \dot{m}_o/N; lógica: \dot{m}_o divide-se entre N tubos, mesmo com 2 passes distribuídos simetricamente): \dot{m}_{\text{tubo}}=\dot{m}_o/N.
  • Área de seção do tubo: A_c=\pi D_i^2/4. Velocidade: V=\dot{m}_{\text{tubo}}/(\rho A_c).
  • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\rho V D_i/\mu.
  • Se \mathrm{Re}<2300 e L/D>10 uso Sieder–Tate; caso contrário Dittus–Boelter.
  • h_i = \dfrac{N u \, k}{D_i}.
  • Área interna total de troca (baseada em D_i): A_i=N\,\pi D_i L.
  • U_i calculado com a expressão dada (tomando h_o=h_{\text{casco}}=1200\\ \mathrm{W/m^2K} e k_{\text{tubo}}=50\\ \mathrm{W/mK}, D_o=18\\ \mathrm{mm}).
  • Potência disponível com L=8\\ \mathrm{m}: Q_{\text{calc}}=U_i A_i \Delta T_{\text{LM,cor}}.
  • Comparo com Q_{\text{demanda}}=75{,}6\\ \mathrm{kW}. Também verifico V\ge V_{o,\min}.
Cálculos numéricos (resumo — cada cálculo está feito passo a passo no raciocínio):
  • Para N=30:
    • \dot{m}_{\text{tubo}}=1{,}2/30=0{,}04\\ \mathrm{kg/s}.
    • A_c=\pi(0{,}015)^2/4\approx1{,}767\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
    • V\approx0{,}04/(854\cdot1{,}767\times10^{-4})\approx0{,}265\\ \mathrm{m/s}.
    • \mathrm{Re}\approx854\cdot0{,}265\cdot0{,}015/0{,}028\approx121 (laminar).
    • Usando Sieder–Tate com L=8\\ \mathrm{m} (ver nota: Sieder–Tate exige L/D>10 — aqui L/D\approx8/0{,}015\approx533>10 OK) computa-se N u\approx8{,}57, então h_i\approx78{,}9\\ \mathrm{W/m^2K}.
    • U_i\approx74{,}7\\ \mathrm{W/m^2K}.
    • A_i=30\cdot\pi\cdot0{,}015\cdot8\approx11{,}31\\ \mathrm{m^2}.
    • Q_{\text{calc}}\approx74{,}7\cdot11{,}31\cdot27{,}52\approx23{,}2\\ \mathrm{kW}.
    • Conclusão: com L=8\\ \mathrm{m} essa escolha entrega \approx23{,}2\\ \mathrm{kW}\ll75{,}6\\ \mathrm{kW}. Além disso V=0{,}265<V_{o,\min}=0{,}5\\ \mathrm{m/s} (violação).
  • Para N=50:
    • \dot{m}_{\text{tubo}}=0{,}024\\ \mathrm{kg/s}, V\approx0{,}159\\ \mathrm{m/s}, \mathrm{Re}\approx73 (laminar).
    • Com L=8\\ \mathrm{m}: N u\approx7{,}24\Rightarrow h_i\approx66{,}6\\ \mathrm{W/m^2K}, U_i\approx63{,}7\\ \mathrm{W/m^2K}.
    • A_i\approx18{,}85\\ \mathrm{m^2}.
    • Q_{\text{calc}}\approx33{,}1\\ \mathrm{kW}.
    • Violação: V=0{,}159<V_{o,\min} e potência insuficiente.
  • Para N=80:
    • \dot{m}_{\text{tubo}}=0{,}015\\ \mathrm{kg/s}, V\approx0{,}099\\ \mathrm{m/s}, \mathrm{Re}\approx45 (laminar).
    • Com L=8\\ \mathrm{m}: N u\approx6{,}10\Rightarrow h_i\approx56{,}1\\ \mathrm{W/m^2K}, U_i\approx53{,}9\\ \mathrm{W/m^2K}.
    • A_i\approx30{,}16\\ \mathrm{m^2}.
    • Q_{\text{calc}}\approx44{,}8\\ \mathrm{kW}.
    • Violação: V=0{,}099<V_{o,\min} e potência ainda insuficiente.
Interpretação e conclusão da Opção B (didática):
  • Para todas as alternativas de número de tubos, com L\le8\\ \mathrm{m} e com a água disponível a 2{,}0\\ \mathrm{kg/s}, a potência obtida é muito menor que os 75{,}6\\ \mathrm{kW} exigidos.
  • Além disso, em todas as opções a velocidade do óleo dentro dos tubos está abaixo da velocidade mínima especificada V_{o,\min}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}. Isso ocorre porque o óleo precisa ser dividido em muitos tubos finos ( \,D_i=15\\ \mathrm{mm}\,) — o que reduz a velocidade por tubo.
  • Conclusão técnica: as opções de casco e tubos listadas (30, 50 ou 80 tubos de D_i=15\\ \mathrm{mm} e L\le8\\ \mathrm{m}) não satisfazem simultaneamente a potência térmica requerida e a restrição de velocidade mínima. Portanto a Opção B, com os parâmetros dados, é inviável sem mudanças (mais tubos, tubos com maior comprimento que 8 m, ou menor divisão do óleo — opções não oferecidas).

Passo 6

Opção A — tubo duplo em contracorrente (óleo no tubo interno). Vou avaliar os três diâmetros internos possíveis D_i=20,\,25,\,32\\ \mathrm{mm}. A estratégia: para cada diâmetro calculo velocidade, \mathrm{Re}, regime, h_i (usando Dittus–Boelter se turbulento, Sieder–Tate se laminar), calculo U_i (assumindo h_o\approx1200\\ \mathrm{W/m^2K} para a água no anel, e parede de aço carbono k_{\text{tubo}}=50\\ \mathrm{W/mK} com espessura 2\\ \mathrm{mm}). Com isso calculo o comprimento total necessário L tal que Q=U_i\,(\pi D_i L)\,\Delta T_{\text{LM}} (contracorrente ideal, F=1). Finalmente verifico perda de carga no óleo com esse comprimento e comparo com \Delta P_{o,\max} e com L_{\max}.
Passos e fórmulas:
  • Se o trocador for tubo-duplo com single tube interior, a área interna por comprimento é a'=\pi D_i (m^2 por m). Assim A=\pi D_i L.
  • Resolver L=\dfrac{Q}{U_i\,\pi D_i \,\Delta T_{\text{LM}}}.
  • Perda de carga \Delta P = f\frac{L}{D_i}\cdot\frac{\rho V^2}{2}.
  • Observação: os diâmetros menores aumentam velocidade e h_i (bom para transferência), mas causam maior perda de carga por comprimento.
Cálculos numéricos (detalhados e comentados):
Primeiro cálculo da velocidade em cada diâmetro (óleo inteiro no tubo interno; não há divisão em múltiplos tubos neste arranjo simples):
  • Área de seção A_c=\pi D_i^2/4.
  • Velocidade V=\dot{m}_o/(\rho A_c).
Para D_i=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}:
  • A_c=\pi(0{,}02)^2/4=3{,}142\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • V=1{,}2/(854\cdot3{,}142\times10^{-4})\approx4{,}47\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}=\rho V D/\mu\approx854\cdot4{,}47\cdot0{,}02/0{,}028\approx2728. Isso é borderline, ligeiramente acima de 2300 → tratarei com correlação turbulenta Dittus–Boelter com cautela.
  • Usando Dittus–Boelter ( n=0{,}3): N u=0{,}023\cdot\mathrm{Re}^{0,8}\cdot\mathrm{Pr}^{0,3}.Cálculo aproximado: \mathrm{Re}^{0,8}\approx560{,}5, \mathrm{Pr}^{0,3}\approx6{,}15 N u\approx79{,}3. h_i=\frac{N u\,k}{D_i}\approx\frac{79{,}3\cdot0{,}138}{0{,}02}\approx547\\ \mathrm{W/m^2K}.
  • Resistência da parede: D_o=D_i+2\cdot0{,}002=0{,}024\\ \mathrm{m}. Termo de condução: \frac{D_i}{2k}\ln\frac{D_o}{D_i}=\frac{0{,}02}{2\cdot50}\ln(1{,}2)\approx3{,}65\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • 1/ h_i= 1/547\approx0{,}00183, D_i/D_o\cdot1/h_o\approx0{,}02/0{,}024\cdot1/1200\approx0{,}000694.
    Somando resistências: \frac{1}{U_i}\approx0{,}001828+3{,}65\times10^{-5}+0{,}000694\approx0{,}003356\Rightarrow U_i\approx298\\ \mathrm{W/m^2K}.
  • Agora comprimento necessário: L=\frac{Q}{U_i\pi D_i\Delta T_{\text{LM}}} =\frac{75600}{298\cdot\pi\cdot0{,}02\cdot29{,}27}\approx138\\ \mathrm{m}.
  • Perda de carga no óleo para esse comprimento:
    • Fator de atrito (Blasius para turbulento aproximado): f=0{,}316\mathrm{Re}^{-0,25}. Para \mathrm{Re}\approx2728: f\approx0{,}0436.
    • \Delta P=f\frac{L}{D}\frac{\rho V^2}{2}.
    • \rho V^2/2\approx854\cdot(4{,}47)^2/2\approx854\cdot9{,}99\approx8536\\ \mathrm{Pa}.
    • L/D=138/0{,}02=6900.
    • \Delta P\approx0{,}0436\cdot6900\cdot8536\approx2{,}57\times10^6\\ \mathrm{Pa}=2570\\ \mathrm{kPa}.
    • Isso é absurdamente maior que \Delta P_{o,\max}=50\\ \mathrm{kPa}. Logo, com a concentração da vazão em um único tubo e comprimento necessário de 138 m, a perda de carga é totalmente inaceitável.
Para D_i=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}:
  • A_c=\pi(0{,}025)^2/4\approx4{,}909\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • V\approx1{,}2/(854\cdot4{,}909\times10^{-4})\approx2{,}86\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}\approx\rho V D/\mu\approx854\cdot2{,}86\cdot0{,}025/0{,}028\approx2186 (abaixo de 2300, laminar/transicional).
  • Para \mathrm{Re}<2300 uso Sieder–Tate com suposição L=8\\ \mathrm{m} para avaliar h_i aproximado — porém o N u depende de L, então o cálculo de L e de h seria iterativo; aqui ilustro a tendência:
    • Com L=8\\ \mathrm{m} obtemos N u menor que no caso de 20 mm, levando a h_i menor, portanto U_i menor, e comprimento necessário maior do que no caso 20 mm (que já deu L\approx138\\ \mathrm{m}). Logo L exigido será muito maior que 138 m.
  • Além disso a perda de carga, ainda que menor por metro nesta configuração (porque V menor), multiplicada por um comprimento muito grande dará \Delta P impraticável.
Para D_i=32\\ \mathrm{mm}=0{,}032\\ \mathrm{m}:
  • A_c\approx8{,}042\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}, V\approx1{,}75\\ \mathrm{m/s}, \mathrm{Re}\approx854\cdot1{,}75\cdot0{,}032/0{,}028\approx1700 (laminar/transicional). O h_i será menor ainda, o que requer comprimento ainda maior. Portanto igualmente inviável na forma de um único tubo longo.
Interpretação e conclusão da Opção A (didática):
  • Com um único tubo interno (mesmo com hairpin para aumentar comprimento total), o comprimento necessário para atingir 75{,}6\\ \mathrm{kW} é muito grande (centenas de metros no caso de D_i=20\\ \mathrm{mm}), e a perda de carga correspondente excede completamente a capacidade da bomba ( 50\\ \mathrm{kPa}). Mesmo diâmetros maiores pioram a necessidade de área porque o coeficiente convectivo interno diminui. Portanto a configuração A, se usada estritamente com um único tubo (mesmo com múltiplos passes em série), não é praticável sem dividir a vazão entre vários tubos em paralelo (opção que não foi listada explicitamente como disponível).
  • No entanto, Opção A tem a vantagem de altas velocidades (para tubos únicos) o que aumenta h_i. A desvantagem é a pequena área por unidade de comprimento — tubos finos têm pouca área superficial, então para muita potência é preciso muito comprimento ou muitos tubos paralelos.

Passo 7

Resumo comparativo técnico e verificação das restrições (parte (c)).
Resumo dos resultados numéricos principais (recapitulando resultados calculados com L=8\\ \mathrm{m} quando aplicável e \dot{m}_a=2{,}0\\ \mathrm{kg/s} ):
  • Carga térmica necessária: Q=75{,}6\\ \mathrm{kW}. (do Passo 2)
  • Vazão mínima teórica de água: \dot{m}_{a,\min}\approx0{,}362\\ \mathrm{kg/s}.
  • Opção B (casco-tubos, D_i=15\\ \mathrm{mm}): para N=30,50,80 e L=8\\ \mathrm{m} obtivemos respectivamente Q_{\text{calc}}\approx23{,}2\\ \mathrm{kW},\\\ 33{,}1\\ \mathrm{kW},\\\ 44{,}8\\ \mathrm{kW}. Em todos os casos:
    • Q_{\text{calc}}<Q (não atende carga),
    • V_{\text{óleo, por tubo}}<V_{o,\min}ó (viola velocidade mínima).
  • Opção A (tubo duplo, tubo único interno): mesmo com o melhor diâmetro disponível ( D_i=20\\ \mathrm{mm}), comprimento necessário L\approx138\\ \mathrm{m} (muito > L_{\max}=8\\ \mathrm{m}), e perda de carga correspondente (para este comprimento) \Delta P\approx2570\\ \mathrm{kPa}\gg50\\ \mathrm{kPa}. Para D_i=25,32 o comprimento exigido seria ainda maior. Portanto, na forma estrita apresentada, Opção A também não atende simultaneamente as restrições de espaço (comprimento) e perda de carga.
Conclusão das verificações:
  • Com os parâmetros e números de tubos fornecidos, nenhuma das configurações oferecidas (Opção A como tubo único com os três diâmetros, ou Opção B com N=30,50,80) atende simultaneamente:
    • a demanda térmica Q=75{,}6\\ \mathrm{kW},
    • a restrição de comprimento L_{\max}=8\\ \mathrm{m},
    • a restrição de perda de carga \Delta P_{o,\max}=50\\ \mathrm{kPa},
    • e a velocidade mínima do óleo V_{o,\min}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Opção B falha principalmente por velocidade muito baixa do óleo nos tubos finos e por falta de área suficiente com L\le8\\ \mathrm{m}.
  • Opção A (com um único tubo) falha porque a área por metro de comprimento é muito pequena — a solução precisa de comprimentos impraticáveis ou de muitos tubos em paralelo (não listados).

Passo 8

Discussão técnica de soluções práticas e recomendação (parte (d)). Aqui eu apresento a sugestão engenharia prática considerando as restrições, o que é possível alterar e justificativa (didática e empática).
Observações de engenharia e opções de correção:
  • As duas alternativas tal como apresentadas não atendem o caso. Para tornar viável alguma alternativa é necessário UMA (ou várias) das ações abaixo:
    1. Aumentar significativamente a área de troca (mais tubos em paralelo no caso de casco-tubos, ou vários tubos internos paralelos no caso de tubo-duplo), mantendo L\le8\\ \mathrm{m}.
    2. Usar tubos de diâmetro maior no casco-tubos (reduz número de tubos necessário para manter velocidade), ou aumentar o número de passagens de óleo de modo a manter velocidade e reduzir perdas locais.
    3. Aumentar a disponibilidade de água quente (reduzir \dot{m}_a não ajuda; aumentar a diferença de temperatura utilizável não é possível além do pinch), ou usar água mais fria (reduzir T_{a,\text{ent}}) — não disponível segundo dados.
    4. Aceitar maior perda de carga (trocar bomba) — se a bomba puder ser substituída/alterada, o problema de queda de pressão do tubo longo pode ser contornado.
  • Entre as opções práticas, a abordagem mais razoável sem trocar fonte de água (temperatura ou vazão) é: projetar um conjunto de tubos em paralelo (um arranjo com vários tubos internos para Opção A — multiplicar área interna por número de tubos) ou aumentar o número de tubos no casco além da opção de 80 (caso B) — mas como o enunciado limita o número de tubos a 30/50/80, essa alternativa exigiria alteração do pacote de opções.
Recomendação técnica com justificativa (se for necessário escolher e justificar entre as opções dadas):
  • Das opções estritas listadas, nenhuma atende as restrições sem modificações. Portanto a recomendação é rejeitar as opções tal como estão e propor uma modificação viável.
  • Proposta prática e preferida: adotar a filosofia da Opção A (tubo duplo), mas executar como um feixe de múltiplos tubos internos em paralelo (ou um conjunto de vários tubos internos embutidos no casco, formando vários canais paralelos para o óleo) com diâmetro interno relativamente pequeno (preferivelmente o menor disponível, D_i=20\\ \mathrm{mm}), para manter alto h_i e permitir alcançar V_{o,\min} com número de tubos adequado; simultaneamente projetar comprimento de tubo efetivo por tubo tal que L\le8\\ \mathrm{m} (ou seja, aumentar N paralela até que a área total A_{\text{tot}}=N\pi D_i L forneça Q com \Delta P\le50\\ \mathrm{kPa}). Justificativas:
    • Escolher tubos menores aumenta h_i (melhor convective interna) e portanto reduz a área total necessária.
    • Distribuir a vazão do óleo em vários tubos paralelos reduz a perda de carga por tubo (pois a perda de carga escala com L/D e com V^2; com menos velocidade por tubo a \Delta P por tubo cai muito).
    • A manutenção é mais simples do que um casco-tubos com centenas de tubos; e a expansão futura pode ser feita adicionando tubos paralelos ou substituindo por módulos adicionais.
  • Observação operacional: qualquer solução exigirá dimensionamento iterativo para escolher N (número de tubos paralelos) tal que:
    • A_{\text{tot}}=N\pi D_i L satisfaça Q=U\\ A_{\text{tot}}\\ \Delta T_{\text{LM}},
    • velocidade por tubo V_{\text{tubo}}=\dfrac{\dot{m}_o/N}{\rho A_c}\ge0{,}5\\ \mathrm{m/s},
    • perda de carga por tubo \Delta P\le50\\ \mathrm{kPa}.
  • Se a planta não puder construir múltiplos tubos paralelos no espaço, a outra alternativa prática é trocar para um trocador casco-tubos com muito mais tubos (ou com tubos maiores) e com projeto de baffles e espessuras de passo otimizadas — mas isto exigiria mudar a lista fixa 30/50/80.
Resumo de critérios de decisão (por que eu escolho orientar para Opção A com modificação):
  • Vantagens de Opção A (com múltiplos tubos paralelos):
    • Permite controlar diretamente velocidade do óleo por tubo (atender V_{o,\min}) sem reduzir h_i demais.
    • Facilita manutenção (trocador de tubo duplo modular).
    • Melhor margem de segurança para aumento de carga (pode adicionar tubos paralelos ou módulos).
  • Opção B (casco-tubos) com os números dados falha nas condições de projeto (velocidade e transferência), exigindo maiores modificações ou aumento do comprimento além do permitido.

Passo 9

Procedimento prático de projeto recomendado (passo-a-passo para a equipe de projeto, se decidirem seguir minha recomendação):
  1. Adotar arranjo multi-tubo paralelo tipo “bundle” inspirado na Opção A: escolher D_i=20\\ \mathrm{mm} (maior h_i). Fixar L=8\\ \mathrm{m} (limite físico).
  2. Determinar o número mínimo N de tubos paralelos resolvendo: Q=U_i(N)\\ \cdot\left(N\pi D_i L\right)\cdot\Delta T_{\text{LM}},onde U_i(N) dependerá de h_i calculado com vazão por tubo \dot{m}_o/N. Fazer isso iterativamente até obter:
    • velocidade por tubo V_{\text{tubo}}\ge0{,}5\\ \mathrm{m/s},
    • perda de carga por tubo \Delta P\le50\\ \mathrm{kPa},
    • N inteiro e razoável do ponto de vista de fabricação.
  3. Avaliar a viabilidade mecânica e de montagem do bundle (suporte, conexões, isolamento).
  4. Incluir margem de segurança de projeto (10–20% a mais em área ou em número de tubos) e verificar limpeza/entupimento e manutenção.
  5. Se a solução exigir mais área do que o espaço permite, avaliar substituição da bomba ou troca de configuração para casco-tubos com tubos maiores e maior número de tubos (reprojetar).
Comentário final encorajador: eu sei que parece que “nenhuma das opções bate certinho” — isso é comum em projetos reais. A parte boa é que os cálculos mostram claramente qual parâmetro mexer (mais área e mais paralelismo nos tubos ou uma bomba mais potente). Com esses números em mãos fica fácil negociar com operações/produção qual caminho seguir (por exemplo, adicionar módulos ou trocar bomba). Se quiser, eu já faço a iteração e calculo o número mínimo de tubos em paralelo para D_i=20\\ \mathrm{mm} com L=8\\ \mathrm{m} e \dot{m}_a=2\\ \mathrm{kg/s}; me diga se quer que eu execute essa iteração numérica agora (faço o cálculo passo a passo).

Resposta

(a) Q=75{,}600\\ \mathrm{W}. \dot{m}_{a,\min}\approx0{,}362\\ \mathrm{kg/s}.
(b) Resultados principais (resumo):
  • Opção A (tubo duplo, tubo único): para D_i=20\\ \mathrm{mm} obtém-se U_i\approx298\\ \mathrm{W/m^2K} e comprimento teórico necessário L\approx138\\ \mathrm{m} (muito maior que L_{\max}=8\\ \mathrm{m}); perda de carga associada a esse comprimento \Delta P\approx2570\\ \mathrm{kPa} (muito acima de 50\\ \mathrm{kPa}). Para D_i=25,32\\ \mathrm{mm} o comprimento necessário é ainda maior e igualmente inviável. Regime: turbulento/limítrofe para D_i=20, laminar/transicional para 25 e 32.
  • Opção B (casco e tubos, 1 passe casco/2 passes tubos):
    • N=30: h_i\approx78{,}9\\ \mathrm{W/m^2K}, U_i\approx74{,}7\\ \mathrm{W/m^2K}, área com L=8\\ \mathrm{m} A\approx11{,}31\\ \mathrm{m^2}, Q_{\text{calc}}\approx23{,}2\\ \mathrm{kW}.
    • N=50: Q_{\text{calc}}\approx33{,}1\\ \mathrm{kW}.
    • N=80: Q_{\text{calc}}\approx44{,}8\\ \mathrm{kW}.
      Em todos os casos V_{\text{óleo,por tubo}}<0{,}5\\ \mathrm{m/s}ó (viola velocidade mínima) e Q_{\text{calc}}<Q.
(c) Quais configurações atendem simultaneamente todas as restrições?
  • Resposta: nenhuma das configurações listadas atende simultaneamente todas as restrições (potência 75{,}6\\ \mathrm{kW}, L_{\max}=8\\ \mathrm{m}, \Delta P_{o,\max}=50\\ \mathrm{kPa}, V_{o,\min}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}) sem modificações.
(d) Seleção e justificativa:
  • Recomenda-se seguir a filosofia da Opção A (tubo duplo) mas com modificação: projetar um feixe de múltiplos tubos internos em paralelo (vários tubos de D_i=20\\ \mathrm{mm}) com comprimento L=8\\ \mathrm{m} cada, dimensionando o número de tubos N por iteração de modo que:
    • a área total A_{\text{tot}}=N\pi D_i L satisfaça Q com o U correspondente,
    • a velocidade por tubo seja \ge0{,}5\\ \mathrm{m/s},
    • a perda de carga por tubo \le50\\ \mathrm{kPa}.
      Justificativa: tubos menores mantêm h_i alto; a divisão em paralelo permite reduzir \Delta P e limitar comprimento por tubo a 8\\ \mathrm{m}; manutenção e expansão futura são mais fáceis (adicionar módulos/mais tubos). Opção B, com os parâmetros dados, falha por velocidade muito baixa do óleo e por área insuficiente; seria aceitável apenas se fosse permitido aumentar muito o número de tubos, o comprimento ou alterar geometria de tubos (modificação fora das opções originais).

Observação final

Se quiser, eu continuo agora com a iteração numérica: escolho D_i=20\\ \mathrm{mm}, fixo L=8\\ \mathrm{m}, assumindo \dot{m}_a=2{,}0\\ \mathrm{kg/s}, e calculo o menor número inteiro de tubos paralelos N que satisfaça simultaneamente Q, V_{o,\min} e \Delta P_{o,\max}, mostrando passo a passo. Quer que eu faça isso agora?

Exercícios relacionados