Informações do setor pessoal de uma grande empresa registram que o desvio padrão do salário dos funcionários de nível superior é de R $ 250,00. Uma amostra aleatória de 64 funcionários de nível superior de uma grande empresa é retirada, verificando-se um salário médio de
.
a) Qual a estimativa pontual para o salário médio de todos os funcionários?
b) Estime um intervalo ao nível de
para o salário médio populacional.
c) Qual o tamanho do erro na estimativa acima?
d) Que tamanho deve ter a amostra para que o erro na estimativa do salário médio populacional seja no máximo
?
e) É necessário admitir normalidade da população? Por quê?
a) Qual a estimativa pontual para o salário médio de todos os funcionários?
b) Estime um intervalo ao nível de
c) Qual o tamanho do erro na estimativa acima?
d) Que tamanho deve ter a amostra para que o erro na estimativa do salário médio populacional seja no máximo
e) É necessário admitir normalidade da população? Por quê?
Passo 1
Ok, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos informações sobre os salários dos funcionários de nível superior em uma grande empresa. Sabemos que o desvio padrão dos salários é de R$ 250,00. Foi tirada uma amostra aleatória de 64 funcionários, e o salário médio nessa amostra foi de R$ 4.200,00. Vamos usar esse dados para responder às perguntas que seguem.
Aqui, vamos trabalhar com estatística inferencial, que nos ajuda a fazer estimativas e tomar decisões sobre uma população com base em uma amostra. Precisaremos entender conceitos como estimativa pontual, intervalo de confiança, erro na estimativa e tamanho da amostra.
Passo 2
a) Qual a estimativa pontual para o salário médio de todos os funcionários?
Uma estimativa pontual é simplesmente o valor da média da amostra que usamos para estimar o parâmetro desconhecido da população. Nesse caso, a média da amostra é R$ 4.200,00.
Passo 3
b) Estime um intervalo ao nível de 95% para o salário médio populacional.
Para calcular um intervalo de confiança, usamos a média da amostra, o desvio padrão da população e o tamanho da amostra. Como a amostra é grande (n = 64), podemos usar a distribuição normal.
A fórmula do intervalo de confiança é:
Onde:
-
é a média da amostra (R$ 4.200,00) -
é o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança (aproximadamente 1,96) -
é o desvio padrão da população (R$ 250,00) -
é o tamanho da amostra (64)
Vamos calcular:
Então, o intervalo de confiança é:
Passo 4
c) Qual o tamanho do erro na estimativa acima?
O erro na estimativa é o valor que determina a margem de variação do intervalo de confiança. Ele foi calculado no passo anterior e é igual a R$ 61,25.
Passo 5
d) Que tamanho deve ter a amostra para que o erro na estimativa do salário médio populacional seja no máximo R$ 50,00?
Queremos encontrar o tamanho da amostra
que garante que o erro seja no máximo R$ 50,00. Usamos a mesma fórmula do intervalo de confiança, mas agora resolvemos para
:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Então, precisamos de uma amostra de pelo menos 97 funcionários para que o erro na estimativa seja de, no máximo, R$ 50,00.
Passo 6
e) É necessário admitir normalidade da população? Por quê?
Sim, é necessário assumir que a distribuição dos salários na população é aproximadamente normal, especialmente quando o tamanho da amostra é pequeno. Isso porque muitas das fórmulas e métodos estatísticos utilizados, como o cálculo do intervalo de confiança, se baseiam na suposição de normalidade para serem precisos. No entanto, como nossa amostra é grande (n = 64), graças ao Teorema Central do Limite, mesmo que a distribuição da população não seja perfeitamente normal, a distribuição da média amostral tende a ser normal, tornando a aproximação válida.
Resposta
a) A estimativa pontual para o salário médio de todos os funcionários é R$ 4.200,00.
b) O intervalo de confiança de 95% para o salário médio populacional é de R$ 4.138,75 a R$ 4.261,25.
c) O tamanho do erro na estimativa é de R$ 61,25.
d) A amostra deve ter pelo menos 97 funcionários para que o erro na estimativa do salário médio populacional seja no máximo R$ 50,00.
e) Sim, é necessário assumir a normalidade da população para garantir a precisão das estimativas, embora para amostras grandes, o Teorema Central do Limite ajude a aproximar a distribuição das médias amostrais à normalidade mesmo que a população não seja perfeitamente normal.