Se 5 % dos aparelhos de televisão produzidos por uma empresa são defeituosos, qual a probabilidade de que, numa amostra aleatória de 200 aparelhos produzidos por essa empresa:
a) No máximo 1 % seja defeituoso?
b) A proporção de aparelhos defeituosos esteja entre 3 % e 6 % ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que 5% dos aparelhos de televisão produzidos são defeituosos. Queremos descobrir a probabilidade de, numa amostra de 200 aparelhos:
a) No máximo 1% sejam defeituosos.
b) A proporção de aparelhos defeituosos esteja entre 3% e 6%.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial ou a aproximação normal, que é adequada quando o tamanho da amostra é grande. Aqui, vamos optar pela aproximação normal.

Passo 2

Vamos tratar o número de aparelhos defeituosos como uma variável aleatória com distribuição binomial, onde e .
Primeiro, verificamos se podemos aproximar essa binomial por uma normal. Uma regra comum é que e sejam maiores que 5.
Aqui, e , ambos maiores que 5, então podemos usar a aproximação normal.

Passo 3

Calculamos a média ( mu = np = 200 times 0,05 = 10 ) e o desvio padrão ( sigma = raiznp(1-p) = raiz200 times 0,05 times 0,95 approx raiz9,5 approx 3,0822 ) da distribuição normal:

Passo 4

a) Queremos a probabilidade de no máximo 1% serem defeituosos. 1% de 200 aparelhos é:
0,01 times 200 = 2
Então, queremos P(X <= 2) approx P(X <= 2,5) .
Para usar a aproximação normal, aplicamos a correção de continuidade:
z = 2,5 - 103,0822 approx -7,53,0822 approx -2,436
Convertendo para o escore z:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, ou 0,75%.

Passo 5

b) Queremos a probabilidade de que a proporção de defeituosos esteja entre 3% e 6%. Calculando os valores:
3% times 200 = 6
6% times 200 = 12
Então, queremos P(5,5 <= X <= 12,5) .
Aplicando a correção de continuidade:
z1 = 5,5 - 103,0822 approx -4,53,0822 approx -1,462
Convertendo para escores z:
Para 5,5:
z2 = 12,5 - 103,0822 approx 2,53,0822 approx 0,812
Para 12,5:
P(Z <= 0,812) approx 0,7910
Consultando a tabela:
P(Z <= -1,462) approx 0,0726
P(6 <= X <= 12) = 0,7910 - 0,0726 = 0,7184 ou 71,84%
Então,

Resposta

a) A probabilidade de, numa amostra de 200 aparelhos, no máximo 1% serem defeituosos é aproximadamente 0,75%.
b) A probabilidade de a proporção de aparelhos defeituosos estar entre 3% e 6% é aproximadamente 71,84%.

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