Se
dos aparelhos de televisão produzidos por uma empresa são defeituosos, qual a probabilidade de que, numa amostra aleatória de 200 aparelhos produzidos por essa empresa:
a) No máximo
seja defeituoso?
b) A proporção de aparelhos defeituosos esteja entre
e
?
a) No máximo
b) A proporção de aparelhos defeituosos esteja entre
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que 5% dos aparelhos de televisão produzidos são defeituosos. Queremos descobrir a probabilidade de, numa amostra de 200 aparelhos:
a) No máximo 1% sejam defeituosos.
b) A proporção de aparelhos defeituosos esteja entre 3% e 6%.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial ou a aproximação normal, que é adequada quando o tamanho da amostra é grande. Aqui, vamos optar pela aproximação normal.
Passo 2
Vamos tratar o número de aparelhos defeituosos como uma variável aleatória
com distribuição binomial, onde
e
.
Primeiro, verificamos se podemos aproximar essa binomial por uma normal. Uma regra comum é que
e
sejam maiores que 5.
Aqui,
e
, ambos maiores que 5, então podemos usar a aproximação normal.
Passo 3
Calculamos a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição normal:
Passo 4
a) Queremos a probabilidade de no máximo 1% serem defeituosos. 1% de 200 aparelhos é:
Então, queremos
.
Para usar a aproximação normal, aplicamos a correção de continuidade:
Convertendo para o escore z:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão,
ou 0,75%.
Passo 5
b) Queremos a probabilidade de que a proporção de defeituosos esteja entre 3% e 6%. Calculando os valores:
Então, queremos
.
Aplicando a correção de continuidade:
Convertendo para escores z:
Para 5,5:
Para 12,5:
Consultando a tabela:
Então,
Resposta
a) A probabilidade de, numa amostra de 200 aparelhos, no máximo 1% serem defeituosos é aproximadamente 0,75%.
b) A probabilidade de a proporção de aparelhos defeituosos estar entre 3% e 6% é aproximadamente 71,84%.