Da produção diária de uma fábrica de lâmpadas, retira-se uma amostra aleatória de 225 garrafas e obtém-se um conteúdo médio de 1.000 ml e desvio padrão é de 150 ml .
a) Qual a estimativa pontual para o conteúdo médio e desvio padrão de todas as garrafas (população)?
b) Qual o intervalo de confiança de 99 % para o conteúdo médio populacional?
c) Qual o tamanho do erro na estimativa acima?
d) Que tamanho deve ter a amostra para que o erro de estimativa seja no máximo de 16,5 ml, com uma confiança de 95,44 % ?
e) É necessário supor que a população da qual a amostra foi extraída apresente distribuição normal? Por quê?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória de 225 garrafas de lâmpadas, com um conteúdo médio de 1.000 ml e um desvio padrão de 150 ml. Vamos utilizar conceitos de estatística, como estimativas pontuais, intervalos de confiança e tamanho de amostra. Precisaremos aplicar fórmulas de média, desvio padrão, intervalo de confiança e cálculo de erro de estimativa.

Passo 2

a) Estimativa pontual para o conteúdo médio e desvio padrão de todas as garrafas (população):
A estimativa pontual da média populacional é simplesmente a média da amostra, que já foi dada como 1.000 ml. Para o desvio padrão, a estimativa pontual é o desvio padrão da amostra, que é 150 ml.
Então:
  • Média populacional estimada (µ̂): 1.000 ml
  • Desvio padrão populacional estimado (σ̂): 150 ml

Passo 3

b) Intervalo de confiança de 99% para o conteúdo médio populacional:
Para calcular o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
IC = barx pm Z ( sigmaraizn )
Onde:
  • IC = 1000 pm 2,576 ( 150raiz225 ) é a média da amostra (1.000 ml)
  • IC = 1000 pm 2,576 ( 15015 ) é o valor crítico da distribuição normal para 99% de confiança
  • IC = 1000 pm 2,576 times 10 é o desvio padrão (150 ml)
  • IC = 1000 pm 25,76 é o tamanho da amostra (225)
Primeiro, encontramos o valor de para 99% de confiança, que é aproximadamente 2,576.
Então:
Portanto, o intervalo de confiança é de 974,24 ml a 1025,76 ml.

Passo 4

c) Tamanho do erro na estimativa acima:
O tamanho do erro (E) é a margem de erro calculada no intervalo de confiança.
E = Z ( sigmaraizn ) = 2,576 times 10 = 25,76 ml
Então, o tamanho do erro é 25,76 ml.

Passo 5

d) Tamanho da amostra para que o erro de estimativa seja no máximo de 16,5 ml, com uma confiança de 95,44%:
Primeiro, identificamos o valor de E = Z ( sigmaraizn ) <= 16,5 ml para 95,44% de confiança, que corresponde a aproximadamente 2,00 (pois 95,44% está próximo de 2 desvios padrão na distribuição normal).
Queremos que:
16,5 >= 2 ( 150raizn )
Substituindo:
16,52 >= 150raizn
8,25 >= 150raizn
raizn >= 1508,25
raizn >= 18,18
n >= (18,18)^2
n >= 330,95
Como o tamanho da amostra deve ser inteiro, arredondamos para cima:
n = 331 garrafas.

Passo 6

e) É necessário supor que a população da qual a amostra foi extraída apresente distribuição normal? Por quê?
Sim, é necessário supor que a população tenha uma distribuição normal, especialmente quando o tamanho da amostra não é muito grande. Essa suposição é importante para que possamos aplicar corretamente a distribuição ou na construção de intervalos de confiança e nos cálculos de erro. Se a população não for normal e a amostra for pequena, os resultados podem não ser confiáveis.

Resposta

a) Média populacional estimada: 1.000 ml; Desvio padrão populacional estimado: 150 ml.
b) Intervalo de confiança de 99%: de 974,24 ml a 1025,76 ml.
c) Tamanho do erro: 25,76 ml.
d) Tamanho da amostra necessário: 331 garrafas.
e) Sim, é necessário supor distribuição normal da população para garantir a validade dos cálculos estatísticos utilizados.

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