Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais ( 2,0 pontos cada item).
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida)
\int \frac{d x}{x^{2}\sqrt{1+x^{2}}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função a integrar é \dfrac{1}{x^{2}\sqrt{1+x^{2}}}.
  • A integral é indefinida, então o resultado deve conter uma constante de integração C.
  • Há uma restrição implícita: x\neq 0 (porque aparece x^{2} no denominador) e \sqrt{1+x^{2}} é sempre definida para todo x\in\mathbb{R}.
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Técnica escolhida: substituição trigonométrica. Vou usar a substituição
x=\tan\theta,
porque ela simplifica \sqrt{1+x^{2}} — lembre que \sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\operatorname{sec}\theta. Explico rapidamente por que essa é uma boa ideia: sempre que aparece \sqrt{1+x^{2}} numa integral, a substituição x=\tan\theta transforma essa raiz em \operatorname{sec}\theta, reduzindo a expressão a funções trigonométricas mais manejáveis. Outra alternativa (equivalente) seria a substituição hiperbólica x=\operatorname{sinh} u, mas a trigonométrica é direta aqui.

Passo 3

Faço a substituição x=\tan\theta. Calculo os elementos necessários:
dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
\sqrt{1+x^{2}}=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\operatorname{sec}\theta.
Também uso as relações trigonométricas básicas: \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}, \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}. Note que x=0 corresponde a \theta=0, e a substituição é usualmente tomada com \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Substituo tudo na integral:
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{1+x^{2}}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\tan^{2}\theta\cdot\operatorname{sec}\theta}.
Simplifico o integrando passo a passo:
\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta} = \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}.
Agora escrevo em termos de \sin e \cos:
\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta} = \frac{1/\cos\theta}{(\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta)} = \frac{1}{\cos\theta}\cdot\frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
Reescrevendo essa última expressão com funções conhecidas:
\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} = \frac{1}{\sin\theta}\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \csc\theta\cot\theta.
Portanto a integral virou
\int \csc\theta\cot\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora integro \int \csc\theta\cot\theta\,d\theta. Uso a derivada conhecida
\frac{d}{d\theta}(\csc\theta) = -\csc\theta\cot\theta.
Assim, a primitiva de \csc\theta\cot\theta é -\csc\theta. Portanto
\int \csc\theta\cot\theta\,d\theta = -\csc\theta + C.

Passo 6

Volto para a variável x. Preciso escrever \csc\theta em função de x, lembrando que fiz x=\tan\theta. Num triângulo retângulo padrão (ou usando identidades),
\tan\theta = \frac{x}{1}\quad\Rightarrow\quad \sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},\quad \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Logo
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}.
Substituindo em -\csc\theta + C obtemos a primitiva na variável x:
-\csc\theta + C = -\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x} + C.
Observação sobre domínio: essa expressão é válida para x\neq 0, que é o domínio natural da integral original.

Passo 7

Verificação rápida diferenciando o resultado (para ganhar confiança): seja
F(x)=-\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}.
Derivando (produto/quotient rule) e simplificando dá exatamente \dfrac{1}{x^{2}\sqrt{1+x^{2}}}. Isso confirma que a primitiva encontrada é correta.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}+C

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