Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais ( 2,0 pontos cada item).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida)
Informações dadas e observações imediatas:
- A função a integrar é
. - A integral é indefinida, então o resultado deve conter uma constante de integração
. - Há uma restrição implícita:
(porque aparece no denominador) e é sempre definida para todo .
Nada mais é fornecido.
Passo 2
Técnica escolhida: substituição trigonométrica. Vou usar a substituição
porque ela simplifica
— lembre que
. Explico rapidamente por que essa é uma boa ideia: sempre que aparece
numa integral, a substituição
transforma essa raiz em
, reduzindo a expressão a funções trigonométricas mais manejáveis. Outra alternativa (equivalente) seria a substituição hiperbólica
, mas a trigonométrica é direta aqui.
Passo 3
Faço a substituição
. Calculo os elementos necessários:
Também uso as relações trigonométricas básicas:
,
. Note que
corresponde a
, e a substituição é usualmente tomada com
.
Passo 4
Substituo tudo na integral:
Simplifico o integrando passo a passo:
Agora escrevo em termos de
e
:
Reescrevendo essa última expressão com funções conhecidas:
Portanto a integral virou
Passo 5
Agora integro
. Uso a derivada conhecida
Assim, a primitiva de
é
. Portanto
Passo 6
Volto para a variável
. Preciso escrever
em função de
, lembrando que fiz
. Num triângulo retângulo padrão (ou usando identidades),
Logo
Substituindo em
obtemos a primitiva na variável
:
Observação sobre domínio: essa expressão é válida para
, que é o domínio natural da integral original.
Passo 7
Verificação rápida diferenciando o resultado (para ganhar confiança): seja
Derivando (produto/quotient rule) e simplificando dá exatamente
. Isso confirma que a primitiva encontrada é correta.