Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais ( 2,0 pontos cada item).
\int\left(5 x^{4}+2 x^{2}-8\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(5 x^{4}+2 x^{2}-8\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{Função a integrar: }5x^{4}+2x^{2}-8.çã
Pergunta: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=5x^{4}+2x^{2}-8. Como é integral indefinida, devemos acrescentar uma constante de integração C.

Passo 2

Técnica utilizada: regra da linearidade das integrais (soma e fator constante) e regra da potência para integrais. Vou explicar essas regras como se estivéssemos com uma caneca de café ao lado — devagar e sem pânico.
Regra da linearidade (soma):
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Regra do fator constante:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante.
Regra da potência (a mais importante aqui):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1,
onde n é um número real (no nosso caso n será inteiro positivo) e C é a constante de integração.
Regra da constante (caso de n=0):
\int c\,dx = c\,x + C,
onde c é constante.
Agora vamos aplicar essas regras termo a termo, porque integrar um polinômio é basicamente integrar cada monômio separadamente.

Passo 3

Integrando o primeiro termo 5x^{4}.
Pela regra do fator constante, posso tirar o 5 para fora da integral:
\int 5x^{4}\,dx = 5\int x^{4}\,dx.
Agora uso a regra da potência com n=4:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Multiplicando pelo 5:
5\cdot\frac{x^{5}}{5} = x^{5}.
Portanto a primitiva do primeiro termo é x^{5}.

Passo 4

Integrando o segundo termo 2x^{2}.
Tiro a constante 2:
\int 2x^{2}\,dx = 2\int x^{2}\,dx.
Uso a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Multiplicando pelo 2:
2\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3}x^{3}.
Portanto a primitiva do segundo termo é \frac{2}{3}x^{3}.

Passo 5

Integrando o terceiro termo -8 (constante).
Usando a regra da constante:
\int -8\,dx = -8x.
Portanto a primitiva do termo constante é -8x.

Passo 6

Somando as primitivas termo a termo (pela linearidade) e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=x^{5}+\frac{2}{3}x^{3}-8x + C.

Passo 7

Checagem rápida (derivando F(x) para ver se volta ao integrando):
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(x^{5}\right)=5x^{4},\qquad \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^{3}\right)=\frac{2}{3}\cdot 3x^{2}=2x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\left(-8x\right)=-8.
Somando:
5x^{4}+2x^{2}-8,
que é exatamente o integrando. Verificação OK — a primitiva está correta. Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo, aplicar regra da potência e linearidade resolve rapidinho polinômios.

Resposta

x^{5}+\dfrac{2}{3}x^{3}-8x+C

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