Se a aceleração de um ponto é dada por:
encontre a velocidade e a posição do ponto, considerando que
e
.
Passo 1
O enunciado dá a aceleração de um ponto como
e pede para encontrar a velocidade e a posição do ponto, sabendo as condições iniciais
As informações relevantes são:
O que é pedido:
- Encontrar
que satisfaz e . - Encontrar
que satisfaz e .
Passo 2
Conceito e estratégia (pouco teórico, bem prático): aceleração é a derivada da velocidade, isto é
. Logo, para obter a velocidade devemos integrar a aceleração componente a componente e ajustar as constantes pela condição
. Depois, posição é a integral da velocidade; novamente integramos componente a componente e usamos
para fixar as constantes de integração.
Aqui vamos integrar cada componente separadamente. Lembretes rápidos de antiderivadas que usaremos:
- Regra do polinômio:
para . - Exponencial:
(se ). - Trigonometria:
.
Passo 3
Integração de
para obter
(antes de aplicar condições iniciais). Integramos componente a componente.
Componente
:
Componente
:
porque
, e com o sinal menos vira
.
Componente
:
Portanto, a velocidade geral (com constantes) é
Passo 4
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Avaliaremos
usando a expressão acima:
Igualando às componentes de
, obtemos
Substituindo de volta,
Podemos reorganizar a componente
como
Passo 5
Agora integramos
para obter
. Novamente, componente a componente e introduzimos constantes de integração
.
Componente
: integrar
Componente
: integrar
porque
.
Componente
: integrar
pois
.
Logo a posição geral é
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Avaliaremos
pela expressão acima:
Igualando às componentes de
, obtemos
Substituindo de volta e simplificando onde for conveniente, obtemos a posição final.
Passo 7
Escrever as expressões finais simplificadas para
e
.
Velocidade:
Posição: