Se a aceleração de um ponto é dada por:
\mathbf{a}(t)=\left(t^{2}-t\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(3-e^{-2 t}\right) \hat{\mathbf{j}}-\omega^{2} \cos (\omega t) \hat{\mathbf{k}}
encontre a velocidade e a posição do ponto, considerando que \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_{0} e \mathbf{v}(0)=\mathbf{v}_{0}.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de um ponto como
\mathbf{a}(t)=\left(t^{2}-t\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(3-e^{-2t}\right)\hat{\mathbf{j}}-\omega^{2}\cos(\omega t)\hat{\mathbf{k}}
e pede para encontrar a velocidade e a posição do ponto, sabendo as condições iniciais
\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_{0},\qquad \mathbf{v}(0)=\mathbf{v}_{0}.
As informações relevantes são:
\mathbf{r}_{0}=r_{0x}\hat{\mathbf{i}}+r_{0y}\hat{\mathbf{j}}+r_{0z}\hat{\mathbf{k}}, \qquad \mathbf{v}_{0}=v_{0x}\hat{\mathbf{i}}+v_{0y}\hat{\mathbf{j}}+v_{0z}\hat{\mathbf{k}}.
O que é pedido:
  • Encontrar \mathbf{v}(t) que satisfaz \mathbf{v}'(t)=\mathbf{a}(t) e \mathbf{v}(0)=\mathbf{v}_{0}.
  • Encontrar \mathbf{r}(t) que satisfaz \mathbf{r}'(t)=\mathbf{v}(t) e \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_{0}.

Passo 2

Conceito e estratégia (pouco teórico, bem prático): aceleração é a derivada da velocidade, isto é \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}. Logo, para obter a velocidade devemos integrar a aceleração componente a componente e ajustar as constantes pela condição \mathbf{v}(0)=\mathbf{v}_{0}. Depois, posição é a integral da velocidade; novamente integramos componente a componente e usamos \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_{0} para fixar as constantes de integração.
Aqui vamos integrar cada componente separadamente. Lembretes rápidos de antiderivadas que usaremos:
  • Regra do polinômio: \displaystyle \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Exponencial: \displaystyle \int e^{at}\,dt=\frac{1}{a}e^{at} (se a\neq0).
  • Trigonometria: \displaystyle \int \cos(at)\,dt=\frac{1}{a}\sin(at),\quad \int \sin(at)\,dt=-\frac{1}{a}\cos(at).

Passo 3

Integração de \mathbf{a}(t) para obter \mathbf{v}(t) (antes de aplicar condições iniciais). Integramos componente a componente.
Componente x:
\int (t^{2}-t)\,dt=\int t^{2}\,dt-\int t\,dt=\frac{1}{3}t^{3}-\frac{1}{2}t^{2}+C_x.
Componente y:
\int\left(3-e^{-2t}\right)\,dt=\int 3\,dt-\int e^{-2t}\,dt=3t+\frac{1}{2}e^{-2t}+C_y,
porque \displaystyle \int e^{-2t}\,dt=-\frac{1}{2}e^{-2t}, e com o sinal menos vira +\tfrac{1}{2}e^{-2t}.
Componente z:
\int -\omega^{2}\cos(\omega t)\,dt=-\omega^{2}\int\cos(\omega t)\,dt=-\omega^{2}\cdot\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)+C_z=-\omega\sin(\omega t)+C_z.
Portanto, a velocidade geral (com constantes) é
\mathbf{v}(t)=\left(\tfrac{1}{3}t^{3}-\tfrac{1}{2}t^{2}+C_x\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(3t+\tfrac{1}{2}e^{-2t}+C_y\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(-\omega\sin(\omega t)+C_z\right)\hat{\mathbf{k}}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial \mathbf{v}(0)=\mathbf{v}_{0} para determinar C_x,C_y,C_z.
Avaliaremos \mathbf{v}(0) usando a expressão acima:
\mathbf{v}(0)=\left(C_x\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\tfrac{1}{2}+C_y\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(C_z\right)\hat{\mathbf{k}}.
Igualando às componentes de \mathbf{v}_{0}=v_{0x}\hat{\mathbf{i}}+v_{0y}\hat{\mathbf{j}}+v_{0z}\hat{\mathbf{k}}, obtemos
C_x=v_{0x},\qquad \tfrac{1}{2}+C_y=v_{0y}\Rightarrow C_y=v_{0y}-\tfrac{1}{2},\qquad C_z=v_{0z}.
Substituindo de volta,
\mathbf{v}(t)=\left(\tfrac{1}{3}t^{3}-\tfrac{1}{2}t^{2}+v_{0x}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(3t+\tfrac{1}{2}e^{-2t}+v_{0y}-\tfrac{1}{2}\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(-\omega\sin(\omega t)+v_{0z}\right)\hat{\mathbf{k}}.
Podemos reorganizar a componente y como
3t+v_{0y}+\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-2t}-1\bigr).

Passo 5

Agora integramos \mathbf{v}(t) para obter \mathbf{r}(t). Novamente, componente a componente e introduzimos constantes de integração D_x,D_y,D_z.
Componente x: integrar \tfrac{1}{3}t^{3}-\tfrac{1}{2}t^{2}+v_{0x}
\int\left(\tfrac{1}{3}t^{3}-\tfrac{1}{2}t^{2}+v_{0x}\right)dt =\tfrac{1}{12}t^{4}-\tfrac{1}{6}t^{3}+v_{0x}t+D_x.
Componente y: integrar 3t+\tfrac{1}{2}e^{-2t}+v_{0y}-\tfrac{1}{2}
\int\left(3t+\tfrac{1}{2}e^{-2t}+v_{0y}-\tfrac{1}{2}\right)dt =\tfrac{3}{2}t^{2}-\tfrac{1}{4}e^{-2t}+(v_{0y}-\tfrac{1}{2})t+D_y,
porque \displaystyle \int \tfrac{1}{2}e^{-2t}\,dt=\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2t}\right)=-\tfrac{1}{4}e^{-2t}.
Componente z: integrar -\omega\sin(\omega t)+v_{0z}
\int\left(-\omega\sin(\omega t)+v_{0z}\right)dt =\cos(\omega t)+v_{0z}t+D_z,
pois \displaystyle \int -\omega\sin(\omega t)\,dt=-\omega\cdot\left(-\tfrac{1}{\omega}\cos(\omega t)\right)=\cos(\omega t).
Logo a posição geral é
\mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{12}t^{4}-\tfrac{1}{6}t^{3}+v_{0x}t+D_x\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\tfrac{3}{2}t^{2}-\tfrac{1}{4}e^{-2t}+(v_{0y}-\tfrac{1}{2})t+D_y\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(\cos(\omega t)+v_{0z}t+D_z\right)\hat{\mathbf{k}}.

Passo 6

Aplicar a condição inicial \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_{0} para determinar D_x,D_y,D_z.
Avaliaremos \mathbf{r}(0) pela expressão acima:
\mathbf{r}(0)=\left(D_x\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(-\tfrac{1}{4}+D_y\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(1+D_z\right)\hat{\mathbf{k}}.
Igualando às componentes de \mathbf{r}_{0}=r_{0x}\hat{\mathbf{i}}+r_{0y}\hat{\mathbf{j}}+r_{0z}\hat{\mathbf{k}}, obtemos
D_x=r_{0x},\qquad -\tfrac{1}{4}+D_y=r_{0y}\Rightarrow D_y=r_{0y}+\tfrac{1}{4},\qquad 1+D_z=r_{0z}\Rightarrow D_z=r_{0z}-1.
Substituindo de volta e simplificando onde for conveniente, obtemos a posição final.

Passo 7

Escrever as expressões finais simplificadas para \mathbf{v}(t) e \mathbf{r}(t).
Velocidade:
\mathbf{v}(t)=\left(\tfrac{1}{3}t^{3}-\tfrac{1}{2}t^{2}+v_{0x}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(3t+v_{0y}+\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-2t}-1\bigr)\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(-\omega\sin(\omega t)+v_{0z}\right)\hat{\mathbf{k}}.
Posição:
\mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{12}t^{4}-\tfrac{1}{6}t^{3}+v_{0x}t+r_{0x}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\tfrac{3}{2}t^{2}+(v_{0y}-\tfrac{1}{2})t+r_{0y}+\tfrac{1}{4}\bigl(1-e^{-2t}\bigr)\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(v_{0z}t+r_{0z}+\bigl(\cos(\omega t)-1\bigr)\right)\hat{\mathbf{k}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}(t)=\left(\tfrac{1}{3}t^{3}-\tfrac{1}{2}t^{2}+v_{0x}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(3t+v_{0y}+\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-2t}-1\bigr)\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(-\omega\sin(\omega t)+v_{0z}\right)\hat{\mathbf{k}}\n
\displaystyle \mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{12}t^{4}-\tfrac{1}{6}t^{3}+v_{0x}t+r_{0x}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\tfrac{3}{2}t^{2}+(v_{0y}-\tfrac{1}{2})t+r_{0y}+\tfrac{1}{4}\bigl(1-e^{-2t}\bigr)\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(v_{0z}t+r_{0z}+\bigl(\cos(\omega t)-1\bigr)\right)\hat{\mathbf{k}}

Exercícios relacionados