Informe o domínio, imagem e faça o gráfico da função z= \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}:
  • Determinar o domínio (conjunto de pontos (x,y) para os quais a função está definida).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de z).
  • Fazer (descrever) o gráfico da função.
Informação dada: a função é a raiz quadrada principal de 4-x^{2}-y^{2}. Não há mais dados.

Passo 2

Regra básica usada para o domínio: a raiz quadrada real \sqrt{\,\cdot\,} exige que o radicando seja maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter
4-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Vamos manipular essa desigualdade de forma bem direta:
4-x^{2}-y^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\le 4.
Interpretação geométrica: x^{2}+y^{2}\le 4 é o disco fechado de raio 2 centrado na origem do plano xy. Em coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, isso equivale a
0\le r\le 2,\qquad 0\le \theta<2\pi.
Observação: incluímos a fronteira x^{2}+y^{2}=4 porque para esses pontos o radicando é zero e \sqrt{0}=0 é válido.

Passo 3

Conclusão do domínio (forma prática para a prova): o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) tais que
x^{2}+y^{2}\le 4.
Dica para lembrar na prova: basta isolar o radicando e identificar a região no plano onde ele é não-negativo. Se for polinomial em x e y com sinal óbvio, convém passar para coordenadas polares para visualizar rapidamente (disco, anel, etc.).

Passo 4

Agora a imagem (range). Pela definição,
z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
Como a raiz principal é sempre não-negativa, temos z\ge 0. Usando x^{2}+y^{2}\le 4 podemos escrever, em polares,
z=\sqrt{4-r^{2}},\qquad 0\le r\le 2.
Para r=0 obtemos z=\sqrt{4}=2. Para r=2 obtemos z=\sqrt{0}=0. Como \sqrt{4-r^{2}} é contínua e monótona decrescente em r no intervalo [0,2], os valores de z percorrerão todo o intervalo fechado de 0 a 2. Portanto a imagem é
0\le z\le 2,
isto é, o intervalo [0,2].

Passo 5

Identificação do tipo de superfície (ajuda para o gráfico): elevando ao quadrado ambos os lados (com cuidado, porque ao elevar podemos introduzir sinais que a função original não tem), obtemos
z^{2}=4-x^{2}-y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Essa é a equação de uma esfera de raio 2 centrada na origem (0,0,0). Como na definição original z=\sqrt{\cdot} temos z\ge 0, o gráfico da função corresponde exatamente à metade superior (hemisfério superior) da esfera de raio 2: todos os pontos da esfera com coordenada z não negativa.

Passo 6

Como desenhar/esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova ou lista de verificação):
  1. No plano xy desenhar o disco fechado de raio 2 centrado na origem; é a projeção da superfície sobre o plano xy.
  2. O ponto mais alto da superfície é (0,0,2). A interseção com o plano z=0 é a circunferência x^{2}+y^{2}=4 (o “equador” do hemisfério).
  3. Se quiser traçar seções transversais:
    • Seção em plano y=0: a curva no plano xz é z=\sqrt{4-x^{2}}, uma semicircunferência de raio 2 em cima do eixo x (para -2\le x\le 2).
    • Seção em plano x=0: análogo, semicircunferência no plano yz.
  4. Curvas de nível (altitudes fixas): para um valor fixo z=c com 0\le c\le 2, a interseção é a circunferência
x^{2}+y^{2}=4-c^{2},
ou seja, círculos concêntricos de raio \sqrt{4-c^{2}} no plano z=c.
5. Parametrização útil para plotar numericamente ou pensar no desenho:
  • Em coordenadas esféricas com ângulo polar \varphi medido a partir do eixo z e azimute \theta:
x=2\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=2\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=2\cos\varphi,
com 0\le\varphi\le \tfrac{\pi}{2}, 0\le\theta<2\pi. Isso percorre o hemisfério superior.
6. Exemplos de pontos para checar:
  • (x,y)=(0,0)\Rightarrow z=2.
  • (x,y)=(2,0)\Rightarrow z=0.
  • (x,y)=(1,1)\Rightarrow z=\sqrt{4-1-1}=\sqrt{2}.

Passo 7

Resumo visual rápido que pode ser escrito no rascunho da prova: o gráfico é o hemisfério superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, com bordo (na base, z=0) a circunferência de raio 2. As curvas de nível são círculos concentricos; as seções por planos coordenados são semicircunferências.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Imagem: [0,2].
Gráfico: hemisfério superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 (ou seja, x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com z\ge 0).

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