Informe o domínio, imagem e faça o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
- Determinar o domínio (conjunto de pontos
para os quais a função está definida). - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
). - Fazer (descrever) o gráfico da função.
Informação dada: a função é a raiz quadrada principal de
. Não há mais dados.
Passo 2
Regra básica usada para o domínio: a raiz quadrada real
exige que o radicando seja maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter
Vamos manipular essa desigualdade de forma bem direta:
Interpretação geométrica:
é o disco fechado de raio
centrado na origem do plano
. Em coordenadas polares
com
,
, isso equivale a
Observação: incluímos a fronteira
porque para esses pontos o radicando é zero e
é válido.
Passo 3
Conclusão do domínio (forma prática para a prova): o domínio é o conjunto de todos os pares
tais que
Dica para lembrar na prova: basta isolar o radicando e identificar a região no plano onde ele é não-negativo. Se for polinomial em
e
com sinal óbvio, convém passar para coordenadas polares para visualizar rapidamente (disco, anel, etc.).
Passo 4
Agora a imagem (range). Pela definição,
Como a raiz principal é sempre não-negativa, temos
. Usando
podemos escrever, em polares,
Para
obtemos
. Para
obtemos
. Como
é contínua e monótona decrescente em
no intervalo
, os valores de
percorrerão todo o intervalo fechado de
a
. Portanto a imagem é
isto é, o intervalo
.
Passo 5
Identificação do tipo de superfície (ajuda para o gráfico): elevando ao quadrado ambos os lados (com cuidado, porque ao elevar podemos introduzir sinais que a função original não tem), obtemos
Essa é a equação de uma esfera de raio
centrada na origem
. Como na definição original
temos
, o gráfico da função corresponde exatamente à metade superior (hemisfério superior) da esfera de raio
: todos os pontos da esfera com coordenada
não negativa.
Passo 6
Como desenhar/esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova ou lista de verificação):
- No plano
desenhar o disco fechado de raio centrado na origem; é a projeção da superfície sobre o plano . - O ponto mais alto da superfície é
. A interseção com o plano é a circunferência (o “equador” do hemisfério). - Se quiser traçar seções transversais:
- Seção em plano
: a curva no plano é , uma semicircunferência de raio em cima do eixo (para ). - Seção em plano
: análogo, semicircunferência no plano .
- Seção em plano
- Curvas de nível (altitudes fixas): para um valor fixo
com , a interseção é a circunferência
ou seja, círculos concêntricos de raio
no plano
.
5. Parametrização útil para plotar numericamente ou pensar no desenho:
5. Parametrização útil para plotar numericamente ou pensar no desenho:
- Em coordenadas esféricas com ângulo polar
medido a partir do eixo e azimute :
com
,
. Isso percorre o hemisfério superior.
6. Exemplos de pontos para checar:
6. Exemplos de pontos para checar:
-
. -
. -
.
Passo 7
Resumo visual rápido que pode ser escrito no rascunho da prova: o gráfico é o hemisfério superior da esfera
, com bordo (na base,
) a circunferência de raio
. As curvas de nível são círculos concentricos; as seções por planos coordenados são semicircunferências.
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Gráfico: hemisfério superior da esfera (ou seja,
com
).
Imagem:
Gráfico: hemisfério superior da esfera