1. Informe o domínio e a imagem da função sen^-1(x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o domínio e a imagem da função sen^-1(x), que é a função inversa do seno. Vamos usar o fato de que, para uma função inversa existir, seu argumento deve pertencer à imagem da função direta, e seu valor de saída é o intervalo em que escolhemos o ramo principal do seno.

Passo 2

Para achar o domínio de sen^-1(x), lembramos que o seno de qualquer ângulo real varia entre -1 e 1. Ou seja, se y=sin(theta), então
-1 <= y <= 1
Portanto, só faz sentido calcular sen^-1(x) quando x estiver nesse intervalo. Logo o domínio é
Doml(sen^-1r) = [-1,1]

Passo 3

A imagem de sen^-1(x) é o conjunto de ângulos theta tais que sin(theta)=x, mas nós restringimos theta ao chamado ramo principal do seno inverso, que vai de -tfracpi2 até tfracpi2. Então
Iml(sen^-1r) = l[-tfracpi2,,tfracpi2r]

Resposta

Domínio: [-1,1]
Imagem: l[-tfracpi2,,tfracpi2r]

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