Calcule integralC F cdot d r, onde
F(x, y, z)=(x y, z^2+x^2, y^2-x) e C é a curva de interseção do cone x^2+y^2=z^2, z >= 0 com o cilindro x=y^2 de (0,0,0) a (1,1, raiz2).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralCFcdot d r
onde
F(x,y,z)=(xy,;z^2+x^2,;y^2-x)
e C é a curva de interseção do cone
x^2+y^2=z^2, z>=0
com o cilindro
x=y^2,
indo de (0,0,0) até (1,1,raiz2).
Esse é um exercício de integral de linha de um campo vetorial em que vamos parametrizar C, calcular d r, substituir em vec F e integrar.

Passo 2

Para parametrizar C note que sobre o cilindro x=y^2 podemos usar
y=t, x=t^2, tin[0,1]
No cone z>=0 temos
z=raizx^2+y^2=raizt^4+t^2=traizt^2+1
Logo
r(t)=l(t^2,,t,,traizt^2+1r), 0<= t<=1

Passo 3

Derivando r(t) em relação a t obtemos
r'(t)=l(2t,;1,;ddtl[traizt^2+1r]r) =l(2t,;1,;2t^2+1raizt^2+1r)
Portanto
d r=r'(t),dt=l(2t,;1,;2t^2+1raizt^2+1r),dt

Passo 4

Substituindo r(t) em vec F
vec Fl(r(t)r) =l(xy,;z^2+x^2,;y^2-xr)|r(t) =l(t^2cdot t,;[traizt^2+1]^2+t^4,;t^2-t^2r)
=l(t^3,;t^2(t^2+1)+t^4,;0r) =l(t^3,;2t^4+t^2,;0r)

Passo 5

O produto escalar vec Fl(r(t)r)cdot r'(t) é
t^3cdot(2t)+l(2t^4+t^2r)cdot1+0cdotl(dotsr) =2t^4+2t^4+t^2=4t^4+t^2
Assim a integral de linha vira
integralCvec Fcdot d r =integral0^1l(4t^4+t^2r),dt

Passo 6

Bastam antiderivar e avaliar de 0 a 1:
integral0^14t^4,dt =4cdott^55|0^1=45, integral0^1t^2,dt =t^33|0^1=13
Somando,
integral0^1(4t^4+t^2),dt =45+13 =12+515 =1715

Resposta

1715

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