Informe a quantidade de algarismos significativos nos números ou no resultado das operações a seguir:
10^{4,37}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a quantidade de algarismos significativos do número \,10^{4,37}\,.
Informações dadas: o número está escrito como \,10^{4,37}\,, ou seja, o expoente é \,4,37\, (tem três algarismos mostrando precisão até os centésimos).

Passo 2

O que significa “algarismos significativos” aqui (explicação curta e útil): quando um valor é dado com certo número de dígitos (como \,4,37\,) isso implica uma incerteza na última casa escrita. Para uma função y=f(x), uma forma prática de ver como a incerteza em x afeta y é usar diferenciais: se y=10^{x} então
\frac{dy}{dx} = \ln(10)\,10^{x},
logo, para uma pequena variação \,dx, a variação relativa de y é
\frac{dy}{y} \approx \ln(10)\,dx.
Isto nos diz que uma incerteza absoluta em x se transforma numa incerteza relativa em y multiplicada por \ln(10). Vou usar isso para quantificar quantos algarismos de y são confiáveis.

Passo 3

Qual é a incerteza em \,x=4,37\, ?
Como o expoente foi dado com duas casas decimais ( 4,37), a incerteza típica da última casa é meio-unidade no centésimo, ou seja
\delta x = 0{,}005.
(Explicação: ao escrever 4,37 normalmente interpretamos que o valor real está aproximadamente entre 4,365 e 4,375, então o desvio típico é \pm 0{,}005.)

Passo 4

Calcular a incerteza relativa em y=10^{x} usando \frac{\delta y}{y}\approx \ln(10)\,\delta x. Usando \ln(10)\approx 2{,}302585093 e \delta x=0{,}005:
\frac{\delta y}{y} \approx 2{,}302585093 \times 0{,}005 \approx 0{,}011513.
Em porcentagem isso é aproximadamente 1{,}15\%. Em palavras: o resultado y tem cerca de 1{,}15\% de incerteza relativa devido à precisão de x.

Passo 5

Vamos achar o valor aproximado de y para ver a ordem de grandeza e comparar tolerâncias de arredondamento. Calculamos
y=10^{4,37}=10^{4}\cdot 10^{0,37}.
Uma forma de obter 10^{0,37} é usar 10^{0,37}=e^{0,37\ln 10}. Com 0{,}37\ln 10\approx 0{,}851956 temos
10^{0,37}\approx 2{,}34403,
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y\approx 2{,}34403\times 10^{4}=23440{,}3.

Passo 6

Agora verificamos quantos algarismos são assegurados pela incerteza calculada. A incerteza absoluta é
\delta y \approx \frac{\delta y}{y}\cdot y \approx 0{,}011513\times 23440{,}3 \approx 269{,}6.
Significado prático: y\approx 23440{,}3 \pm 269{,}6.
Para testar se podemos afirmar n algarismos significativos, verificamos o tamanho do passo de arredondamento na notação científica:
  • Se quisermos 3 algarismos significativos, escreveríamos y como 2{,}34\times 10^{4}. O passo entre representações consecutivas com 3 algarismos é 0{,}01\times 10^{4}=100, e o meio-passo (tolerância máxima para garantir 3 dígitos) é 50. Como \delta y\approx 269{,}6>50, não podemos garantir 3 dígitos significativos.
  • Para 2 algarismos significativos escreveríamos y como 2{,}3\times 10^{4}. O passo é 0{,}1\times 10^{4}=1000, meio-passo 500. Aqui \delta y\approx 269{,}6<500, então 2 algarismos significativos são garantidos.

Passo 7

Conclusão didática e motivadora: apesar do número final ter muitas casas quando escrevemos 23440{,}3, a precisão do expoente \,4,37\, implica uma incerteza que só permite afirmar com confiança os dois primeiros algarismos significativos do resultado. Ou seja, você deve relatar 10^{4,37} com 2 algarismos significativos.

Resposta

2 algarismos significativos.

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