Iniciando em um horario fixo, observamos o sexo de cada crianca nascida em um determinado hospital ate que nasça um menino. Assuma que nascimentos sucessivos sejam independentes. Defina a va
sendo o número de nascimentos observados.
Passo 1
O enunciado diz que, a partir de um horário fixo, observamos sucessivos nascimentos num hospital até que nasça um menino. Os nascimentos são assumidos independentes. Foi definida a variável aleatória
como o número de nascimentos observados (isto é, o total contado até o primeiro menino, inclusive).
O que vamos determinar (as perguntas que naturalmente surgem a partir da definição de
):
- a função massa de probabilidade (PMF) de
; - a esperança
e a variância ; - uma propriedade importante dessa distribuição (memória).
Passo 2
Modelagem e PMF.
Seja a probabilidade de que um nascimento seja de um menino (ou seja,
). Como os nascimentos são independentes, para que
(isto é, para que o primeiro menino apareça exatamente no
-ésimo nascimento) é preciso que os primeiros
nascimentos sejam meninas e o
-ésimo seja menino. A probabilidade disso acontecer é o produto das probabilidades dos eventos independentes:
Seja
Explicando passo a passo:
é a probabilidade de nascimento de menina; precisamos de
meninas seguidas (por isso
) e então um menino (fator
). A independência permite multiplicar.
Verificação de normalização (para ficar tranquilo na prova): deixe
. Então
Portanto a PMF está correta e é uma distribuição geométrica (no suporte
).
Passo 3
Cálculo da esperança
.
Queremos com
. Para somar essa série usamos um resultado padrão sobre séries geométricas e derivadas:
Queremos
Começamos de
Diferenciando ambos os lados em relação a
(passo simples mas importante):
Logo
Substituindo
obtemos
Interpretação simples: em média espera-se observar
nascimentos até o primeiro menino. Se
, por exemplo,
.
Passo 4
Cálculo da variância
.
Usamos . Primeiro calculamos
. Novamente partimos de séries e diferenciação.
Usamos
Temos já
Diferenciando este último em relação a
(e rearranjando) fornece uma expressão para
. Executando a diferenciação:
Por outro lado a diferenciação do lado da série dá
Logo
Assim
Substituindo
(logo
e
):
Finalmente
No caso
isso dá
.
Passo 5
Propriedade de memória (útil em provas e interpretações).
A distribuição geométrica com suporte em é memória-less: para inteiros
,
A distribuição geométrica com suporte em
Prova rápida:
probabilidade de os primeiros
nascimentos serem todos meninas
. Então
Interpretação: se já se esperou
nascimentos sem menino, a distribuição do tempo adicional até o primeiro menino é a mesma que a do começo — a história “não lembra” o que já ocorreu.