Iniciando em um horario fixo, observamos o sexo de cada crianca nascida em um determinado hospital ate que nasça um menino. Assuma que nascimentos sucessivos sejam independentes. Defina a va X sendo o número de nascimentos observados.

Passo 1

O enunciado diz que, a partir de um horário fixo, observamos sucessivos nascimentos num hospital até que nasça um menino. Os nascimentos são assumidos independentes. Foi definida a variável aleatória X como o número de nascimentos observados (isto é, o total contado até o primeiro menino, inclusive).
O que vamos determinar (as perguntas que naturalmente surgem a partir da definição de X):
  • a função massa de probabilidade (PMF) de X;
  • a esperança E[X] e a variância \operatorname{Var}(X);
  • uma propriedade importante dessa distribuição (memória).

Passo 2

Modelagem e PMF.
Seja p a probabilidade de que um nascimento seja de um menino (ou seja, 0<p\le 1). Como os nascimentos são independentes, para que X=k (isto é, para que o primeiro menino apareça exatamente no k-ésimo nascimento) é preciso que os primeiros k-1 nascimentos sejam meninas e o k-ésimo seja menino. A probabilidade disso acontecer é o produto das probabilidades dos eventos independentes:
\Pr(X=k) = (1-p)^{k-1}\,p,\qquad k=1,2,3,\ldots
Explicando passo a passo: (1-p) é a probabilidade de nascimento de menina; precisamos de k-1 meninas seguidas (por isso (1-p)^{k-1}) e então um menino (fator p). A independência permite multiplicar.
Verificação de normalização (para ficar tranquilo na prova): deixe r=1-p. Então
\sum_{k=1}^{\infty}\Pr(X=k)=\sum_{k=1}^{\infty} p\,r^{k-1}=p\sum_{j=0}^{\infty} r^{j}=p\cdot\frac{1}{1-r}=p\cdot\frac{1}{p}=1.
Portanto a PMF está correta e é uma distribuição geométrica (no suporte \{1,2,\dots\}).

Passo 3

Cálculo da esperança E[X].
Queremos E[X]=\sum_{k=1}^{\infty} k\,\Pr(X=k)=\sum_{k=1}^{\infty} k\,p\,r^{k-1} com r=1-p. Para somar essa série usamos um resultado padrão sobre séries geométricas e derivadas:
Começamos de
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r},\qquad |r|<1.
Diferenciando ambos os lados em relação a r (passo simples mas importante):
\sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{k-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Logo
E[X]=p\sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{k-1}=p\cdot\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Substituindo 1-r=p obtemos
E[X]=p\cdot\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}.
Interpretação simples: em média espera-se observar \dfrac{1}{p} nascimentos até o primeiro menino. Se p=\tfrac{1}{2}, por exemplo, E[X]=2.

Passo 4

Cálculo da variância \operatorname{Var}(X).
Usamos \operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}. Primeiro calculamos E[X^{2}]. Novamente partimos de séries e diferenciação.
Temos já
\sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{k}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Diferenciando este último em relação a r (e rearranjando) fornece uma expressão para \sum_{k=1}^{\infty} k^{2} r^{k-1}. Executando a diferenciação:
\frac{d}{dr}\left(\frac{r}{(1-r)^{2}}\right) =\frac{(1-r)^{2}-r\cdot 2(1-r)(-1)}{(1-r)^{4}} =\frac{1+r}{(1-r)^{3}}.
Por outro lado a diferenciação do lado da série dá
\frac{d}{dr}\left(\sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} r^{k-1}.
Logo
\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} r^{k-1}=\frac{1+r}{(1-r)^{3}}.
Assim
E[X^{2}]=p\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} r^{k-1}=p\cdot\frac{1+r}{(1-r)^{3}}.
Substituindo r=1-p (logo 1-r=p e 1+r=2-p):
E[X^{2}]=p\cdot\frac{2-p}{p^{3}}=\frac{2-p}{p^{2}}.
Finalmente
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\bigl(E[X]\bigr)^{2}=\frac{2-p}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1-p}{p^{2}}.
No caso p=\tfrac{1}{2} isso dá \operatorname{Var}(X)=2.

Passo 5

Propriedade de memória (útil em provas e interpretações).
A distribuição geométrica com suporte em \{1,2,\dots\} é memória-less: para inteiros m,n\ge 0,
\Pr(X>m+n \mid X>m)=\Pr(X>n).
Prova rápida: \Pr(X>k)= probabilidade de os primeiros k nascimentos serem todos meninas =(1-p)^{k}=r^{k}. Então
\Pr(X>m+n \mid X>m)=\frac{\Pr(X>m+n)}{\Pr(X>m)}=\frac{r^{m+n}}{r^{m}}=r^{n}=\Pr(X>n).
Interpretação: se já se esperou m nascimentos sem menino, a distribuição do tempo adicional até o primeiro menino é a mesma que a do começo — a história “não lembra” o que já ocorreu.

Resposta

\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\dots
E[X]=\dfrac{1}{p}
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^{2}}

Exercícios relacionados