Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Retiram-se 2 peças ao acaso. Defina a variável aleatória X igual ao número de peças boas. Obtenha a distribuição de probabilidade de X .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas as quantidades abaixo foram tiradas do enunciado):
  • 10 peças boas.
  • 4 peças com defeitos (não graves).
  • 2 peças com defeitos graves.
  • Retiram-se ao acaso 2 peças, sem reposição.
  • Define-se a variável aleatória X como o número de peças boas nas 2 retiradas.
O que o problema pede:
  • Obter a distribuição de probabilidade de X, ou seja, calcular P(X=0), P(X=1) e P(X=2).

Passo 2

Como vamos raciocinar (estratégia de resolução):
  • Trabalhar com probabilidades sem reposição costuma ser mais direto contando resultados possíveis; isto é, usar contagem combinatória: probabilidade = número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.
  • Vou usar a fórmula baseada em combinações (a chamada distribuição hipergeométrica). Apresento a fórmula geral e explico as partes.
Fórmula (em termos combinatórios):
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}
onde:
  • N é o total de itens na população (aqui N=10+4+2),
  • K é o número de itens “sucesso” na população (aqui “sucesso” = peça boa, então K=10),
  • n é o número de retiradas (aqui n=2),
  • k é o número de sucessos observados (aqui k\in\{0,1,2\}),
  • \binom{a}{b} é o coeficiente binomial (combinação), que conta de quantas maneiras escolher b elementos dentre a e vale \displaystyle \binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!}.
Comentário didático curto sobre \binom{a}{b}: para valores pequenos é prático calcular usando produtos. Por exemplo \displaystyle \binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45.

Passo 3

Calcular os parâmetros numéricos:
  • Total de peças: N=10+4+2=16.
  • Número de peças não boas (defeituosas ou graves): N-K=16-10=6.
  • Número de retiradas: n=2.
  • Número total de maneiras de escolher 2 peças entre 16:
\binom{16}{2}=\frac{16\cdot15}{2}=120.

Passo 4

Calcular P(X=0) (nenhuma peça boa nas 2 retiradas):
  • Favoráveis: escolher 0 peças boas dentre 10 e 2 peças não boas dentre 6:
\binom{10}{0}\binom{6}{2}=1\cdot\binom{6}{2}.
  • Calcular \binom{6}{2}=\dfrac{6\cdot5}{2}=15.
  • Assim o número de casos favoráveis é 15 e
P(X=0)=\frac{15}{120}=\frac{1}{8}=0{,}125.

Passo 5

Calcular P(X=1) (exatamente uma peça boa):
  • Favoráveis: escolher 1 peça boa dentre 10 e 1 não boa dentre 6:
\binom{10}{1}\binom{6}{1}=10\cdot6=60.
  • Portanto
P(X=1)=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}=0{,}5.

Passo 6

Calcular P(X=2) (duas peças boas):
  • Favoráveis: escolher 2 peças boas dentre 10 e 0 não boas dentre 6:
\binom{10}{2}\binom{6}{0}= \binom{10}{2}\cdot 1.
  • Calcular \binom{10}{2}=\dfrac{10\cdot9}{2}=45.
  • Assim
P(X=2)=\frac{45}{120}=\frac{3}{8}=0{,}375.

Passo 7

Verificação rápida (sanidade dos números): somando as probabilidades temos
\frac{15}{120}+\frac{60}{120}+\frac{45}{120}=\frac{120}{120}=1,
o que confirma que a distribuição está correta.

Passo 8

Checagem alternativa (intuição com probabilidades condicionais, sem usar combinações): por exemplo
  • P(X=2)=\dfrac{10}{16}\cdot\dfrac{9}{15}=\dfrac{90}{240}=\dfrac{3}{8},
  • P(X=0)=\dfrac{6}{16}\cdot\dfrac{5}{15}=\dfrac{30}{240}=\dfrac{1}{8},
  • P(X=1) é 1-P(X=0)-P(X=2)=\dfrac{1}{2}.
    Isto confirma os valores obtidos por contagem combinatória. Boa notícia: métodos diferentes dão a mesma resposta — sinal de que está tudo certo!

Resposta

P(X=0)=\dfrac{1}{8}=0{,}125
P(X=1)=\dfrac{1}{2}=0{,}5
P(X=2)=\dfrac{3}{8}=0{,}375

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