Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Retiram-se 2 peças ao acaso. Defina a variável aleatória X igual ao número de peças boas. Obtenha a distribuição de probabilidade de X .
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas as quantidades abaixo foram tiradas do enunciado):
- Há
peças boas. - Há
peças com defeitos (não graves). - Há
peças com defeitos graves. - Retiram-se ao acaso
peças, sem reposição. - Define-se a variável aleatória
como o número de peças boas nas retiradas.
O que o problema pede:
- Obter a distribuição de probabilidade de
, ou seja, calcular , e .
Passo 2
Como vamos raciocinar (estratégia de resolução):
- Trabalhar com probabilidades sem reposição costuma ser mais direto contando resultados possíveis; isto é, usar contagem combinatória: probabilidade = número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.
- Vou usar a fórmula baseada em combinações (a chamada distribuição hipergeométrica). Apresento a fórmula geral e explico as partes.
Fórmula (em termos combinatórios):
onde:
-
é o total de itens na população (aqui ), -
é o número de itens “sucesso” na população (aqui “sucesso” = peça boa, então ), -
é o número de retiradas (aqui ), -
é o número de sucessos observados (aqui ), -
é o coeficiente binomial (combinação), que conta de quantas maneiras escolher elementos dentre e vale .
Comentário didático curto sobre
: para valores pequenos é prático calcular usando produtos. Por exemplo
.
Passo 3
Calcular os parâmetros numéricos:
- Total de peças:
. - Número de peças não boas (defeituosas ou graves):
. - Número de retiradas:
. - Número total de maneiras de escolher
peças entre :
Passo 4
Calcular
(nenhuma peça boa nas 2 retiradas):
- Favoráveis: escolher
peças boas dentre e peças não boas dentre :
- Calcular
. - Assim o número de casos favoráveis é
e
Passo 5
Calcular
(exatamente uma peça boa):
- Favoráveis: escolher
peça boa dentre e não boa dentre :
- Portanto
Passo 6
Calcular
(duas peças boas):
- Favoráveis: escolher
peças boas dentre e não boas dentre :
- Calcular
. - Assim
Passo 7
Verificação rápida (sanidade dos números): somando as probabilidades temos
o que confirma que a distribuição está correta.
Passo 8
Checagem alternativa (intuição com probabilidades condicionais, sem usar combinações): por exemplo
-
, -
, -
é .
Isto confirma os valores obtidos por contagem combinatória. Boa notícia: métodos diferentes dão a mesma resposta — sinal de que está tudo certo!