Um lançamento de um dado 5 vezes. Qual a probabilidade de que a face 2 apareça pelo menos uma vez nos 5 lançamentos?

Passo 1

O enunciado: um dado (supõe-se justo) é lançado 5 vezes. Pergunta-se qual a probabilidade de que a face 2 apareça pelo menos uma vez nos 5 lançamentos.
Informações dadas:
  • Número de lançamentos: 5.
  • Cada lançamento é de um dado justo: a probabilidade de sair a face 2 em um lançamento é \dfrac{1}{6}.
  • Pressupõe-se independência entre lançamentos (o resultado de um lançamento não altera os outros).
O que se pede:
  • A probabilidade de que ocorra pelo menos um resultado igual a 2 ao longo dos 5 lançamentos.

Passo 2

Modelando o experimento e entendendo independência: cada lançamento é um ensaio com duas possibilidades relevantes para nossa pergunta — “sucesso” = sai a face 2 (com probabilidade \dfrac{1}{6}) e “fracasso” = não sai a face 2 (com probabilidade 1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}). Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de uma sequência de resultados é o produto das probabilidades dos resultados individuais.
Explicação didática: quando temos vários ensaios independentes em que cada um tem a mesma probabilidade de sucesso, isso é um caso de distribuição binomial. Mas para “pelo menos uma vez” há um truque muito prático (e frequentemente usado em provas): usar o complemento.

Passo 3

Regra do complemento (a grande estrela aqui): para qualquer evento A,
P(A)=1-P(A^c),
onde A^c é o evento complementar (ou seja, "não A"). No nosso caso, A = "aparece pelo menos uma vez a face 2". O complementar A^c é "não aparece nenhuma vez a face 2" (ou seja, zero ocorrências de 2 em 5 lançamentos). É muito mais simples calcular P(A^c) e depois usar a fórmula acima.

Passo 4

Calcular P(A^c): a probabilidade de, em um único lançamento, não sair 2 é \dfrac{5}{6}. Por independência, a probabilidade de não sair 2 em nenhum dos 5 lançamentos é o produto dessas probabilidades:
P(A^c)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^5.
Agora aplicamos o complemento:
P(A)=1-P(A^c)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^5.

Passo 5

Cálculo exato e forma decimal: calcular \left(\dfrac{5}{6}\right)^5.
\left(\dfrac{5}{6}\right)^5=\dfrac{5^5}{6^5}=\dfrac{3125}{7776}.
Portanto
P(A)=1-\dfrac{3125}{7776}=\dfrac{7776-3125}{7776}=\dfrac{4651}{7776}.
Como decimal (aproximando):
\dfrac{4651}{7776}\approx 0,5981\quad\text{(ou cerca de }59,81\%\text{)}.
Observação alternativa (opcional, para fixar): usando a distribuição binomial, a probabilidade de pelo menos uma ocorrência seria
\sum_{k=1}^{5}\binom{5}{k}\left(\dfrac{1}{6}\right)^k\left(\dfrac{5}{6}\right)^{5-k},
que, pela soma das probabilidades binomiais, dá o mesmo resultado 1-(5/6)^5.

Resposta

\dfrac{4651}{7776}\approx 0,5981

Exercícios relacionados