Um lançamento de um dado 5 vezes. Qual a probabilidade de que a face 2 apareça pelo menos uma vez nos 5 lançamentos?
Passo 1
O enunciado: um dado (supõe-se justo) é lançado
vezes. Pergunta-se qual a probabilidade de que a face
apareça pelo menos uma vez nos
lançamentos.
Informações dadas:
- Número de lançamentos:
. - Cada lançamento é de um dado justo: a probabilidade de sair a face
em um lançamento é . - Pressupõe-se independência entre lançamentos (o resultado de um lançamento não altera os outros).
O que se pede:
- A probabilidade de que ocorra pelo menos um resultado igual a
ao longo dos lançamentos.
Passo 2
Modelando o experimento e entendendo independência: cada lançamento é um ensaio com duas possibilidades relevantes para nossa pergunta — “sucesso” = sai a face
(com probabilidade
) e “fracasso” = não sai a face
(com probabilidade
). Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de uma sequência de resultados é o produto das probabilidades dos resultados individuais.
Explicação didática: quando temos vários ensaios independentes em que cada um tem a mesma probabilidade de sucesso, isso é um caso de distribuição binomial. Mas para “pelo menos uma vez” há um truque muito prático (e frequentemente usado em provas): usar o complemento.
Passo 3
Regra do complemento (a grande estrela aqui): para qualquer evento
,
onde
é o evento complementar (ou seja, "não
"). No nosso caso,
= "aparece pelo menos uma vez a face
". O complementar
é "não aparece nenhuma vez a face
" (ou seja, zero ocorrências de
em
lançamentos). É muito mais simples calcular
e depois usar a fórmula acima.
Passo 4
Calcular
: a probabilidade de, em um único lançamento, não sair
é
. Por independência, a probabilidade de não sair
em nenhum dos
lançamentos é o produto dessas probabilidades:
Agora aplicamos o complemento:
Passo 5
Cálculo exato e forma decimal: calcular
.
Portanto
Como decimal (aproximando):
Observação alternativa (opcional, para fixar): usando a distribuição binomial, a probabilidade de pelo menos uma ocorrência seria
que, pela soma das probabilidades binomiais, dá o mesmo resultado
.