No inicio do ano, um estudante decide começar um empreendimento relacionado com sua pesquisa. Existe a possibilidade de encontrar apoio financeiro para o empreendimento, oferecido pelo município. A probabilidade de obter o financiamento é de 0,2 . Sabe-se que a probabilidade do empreendimento ter sucesso até em 2 anos, quando financiado, é de 0,7 , enquanto no caso de năo ter financiamento, a probabilidade de sucesso em 2 anos cai para 0,25 . (3 pt)
(a) Encontre a probabilidade do empreendimento ter sucesso ao final de 2 anos.
(b) Qual é a probabilidade de um empreendimento não ter sucesso dentre aqueles que nūo tiveram financiamento?
(c) Se ao final do segundo ano sabe-se que o empreendimento foi bem sucedido, qual ea probabilidade de ter tido financiamento?
(a) Encontre a probabilidade do empreendimento ter sucesso ao final de 2 anos.
(b) Qual é a probabilidade de um empreendimento não ter sucesso dentre aqueles que nūo tiveram financiamento?
(c) Se ao final do segundo ano sabe-se que o empreendimento foi bem sucedido, qual ea probabilidade de ter tido financiamento?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
Dados fornecidos pelo enunciado:
Dados fornecidos pelo enunciado:
- A probabilidade de obter financiamento é
. - A probabilidade de sucesso até 2 anos dado que houve financiamento é
. - A probabilidade de sucesso até 2 anos dado que não houve financiamento é
.
Perguntas do enunciado:
(a) Encontre a probabilidade do empreendimento ter sucesso ao final de 2 anos, isto é .
(b) Qual é a probabilidade de um empreendimento não ter sucesso dentre aqueles que não tiveram financiamento, isto é .
(c) Se ao final do segundo ano sabe-se que o empreendimento foi bem sucedido, qual é a probabilidade de ter tido financiamento, isto é .
(a) Encontre a probabilidade do empreendimento ter sucesso ao final de 2 anos, isto é
(b) Qual é a probabilidade de um empreendimento não ter sucesso dentre aqueles que não tiveram financiamento, isto é
(c) Se ao final do segundo ano sabe-se que o empreendimento foi bem sucedido, qual é a probabilidade de ter tido financiamento, isto é
Passo 2
Definição de notação e conceitos básicos que vamos usar (sem resolver ainda).
- Vamos chamar de
o evento “teve financiamento” e de o evento “não teve financiamento”. - Vamos chamar de
o evento “teve sucesso em 2 anos” e de o evento complementar “não teve sucesso em 2 anos”. - Relembrando: a probabilidade complementar de um evento
é . Isso será útil para calcular probabilidades de “não sucesso”.
Passo 3
Resolver (a) — ideia e fórmula: Lei da probabilidade total.
Explicação didática da lei da probabilidade total: se os eventos e
formam uma partição do espaço (ou seja, ou ocorreu
ou ocorreu
), então a probabilidade de
pode ser obtida somando as probabilidades de
ocorrendo em cada ramo:
Explicação didática da lei da probabilidade total: se os eventos
Aqui cada termo
representa a contribuição à probabilidade total de
vindo do caso em que a condição ocorre.
Passo 4
Aplicar a fórmula com os números dados (cálculos passo a passo).
Primeiro calcule .
Primeiro calcule
Agora calcule as contribuições:
Somando as contribuições:
Interpretação: a probabilidade de sucesso ao final de 2 anos é
(ou seja, 34%).
Passo 5
Resolver (b) — uso do complementar e interpretação.
A pergunta pede a probabilidade de “não ter sucesso” entre os que não tiveram financiamento: isto é . Usamos a propriedade complementar condicionada:
A pergunta pede a probabilidade de “não ter sucesso” entre os que não tiveram financiamento: isto é
Substituindo o valor dado
:
Interpretação: dentre os que não tiveram financiamento, 75% não tiveram sucesso em 2 anos.
Passo 6
Resolver (c) — ideia e fórmula: Teorema de Bayes.
Explicação didática do Teorema de Bayes: quando queremos inverter uma probabilidade condicional (por exemplo, saber a partir de
), usamos:
Explicação didática do Teorema de Bayes: quando queremos inverter uma probabilidade condicional (por exemplo, saber
Aqui
já foi obtido pela lei da probabilidade total no passo anterior.
Passo 7
Aplicar Bayes com os números (cálculos detalhados).
Já temos (do passo 4) e
(do passo 4). Então
Já temos
Podemos simplificar a fração:
Em forma decimal:
Interpretação: se sabemos que o empreendimento foi bem-sucedido, a probabilidade de que ele tenha recebido financiamento é aproximadamente
.
Passo 8
Resumo final e interpretação curta (motivacional).
- (a) Usamos a soma das contribuições dos dois casos (com e sem financiamento) para achar a probabilidade total de sucesso.
- (b) Para “não sucesso” condicionado a não ter financiamento, usamos o complementar.
- (c) Para inverter a condição (achar a probabilidade de financiamento dado sucesso) usamos Bayes.
Você conseguiu! Esses três passos (probabilidade total, complementos e Bayes) são as ferramentas essenciais para questões desse tipo — treine mais um pouco com exemplos parecidos para ganhar confiança.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)