No inicio do ano, um estudante decide começar um empreendimento relacionado com sua pesquisa. Existe a possibilidade de encontrar apoio financeiro para o empreendimento, oferecido pelo município. A probabilidade de obter o financiamento é de 0,2 . Sabe-se que a probabilidade do empreendimento ter sucesso até em 2 anos, quando financiado, é de 0,7 , enquanto no caso de năo ter financiamento, a probabilidade de sucesso em 2 anos cai para 0,25 . (3 pt)
(a) Encontre a probabilidade do empreendimento ter sucesso ao final de 2 anos.
(b) Qual é a probabilidade de um empreendimento não ter sucesso dentre aqueles que nūo tiveram financiamento?
(c) Se ao final do segundo ano sabe-se que o empreendimento foi bem sucedido, qual ea probabilidade de ter tido financiamento?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
Dados fornecidos pelo enunciado:
  • A probabilidade de obter financiamento é \,P(F)=0,2.
  • A probabilidade de sucesso até 2 anos dado que houve financiamento é \,P(S\mid F)=0,7.
  • A probabilidade de sucesso até 2 anos dado que não houve financiamento é \,P(S\mid F^c)=0,25.
Perguntas do enunciado:
(a) Encontre a probabilidade do empreendimento ter sucesso ao final de 2 anos, isto é \,P(S).
(b) Qual é a probabilidade de um empreendimento não ter sucesso dentre aqueles que não tiveram financiamento, isto é \,P(S^c\mid F^c).
(c) Se ao final do segundo ano sabe-se que o empreendimento foi bem sucedido, qual é a probabilidade de ter tido financiamento, isto é \,P(F\mid S).

Passo 2

Definição de notação e conceitos básicos que vamos usar (sem resolver ainda).
  • Vamos chamar de \,F o evento “teve financiamento” e de \,F^c o evento “não teve financiamento”.
  • Vamos chamar de \,S o evento “teve sucesso em 2 anos” e de \,S^c o evento complementar “não teve sucesso em 2 anos”.
  • Relembrando: a probabilidade complementar de um evento A é \,P(A^c)=1-P(A). Isso será útil para calcular probabilidades de “não sucesso”.

Passo 3

Resolver (a) — ideia e fórmula: Lei da probabilidade total.
Explicação didática da lei da probabilidade total: se os eventos F e F^c formam uma partição do espaço (ou seja, ou ocorreu F ou ocorreu F^c), então a probabilidade de S pode ser obtida somando as probabilidades de S ocorrendo em cada ramo:
P(S)=P(S\mid F)\,P(F)+P(S\mid F^c)\,P(F^c).
Aqui cada termo P(S\mid \text{condição})\,P(\text{condição})çãçã representa a contribuição à probabilidade total de S vindo do caso em que a condição ocorre.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os números dados (cálculos passo a passo).
Primeiro calcule \,P(F^c)=1-P(F)=1-0,2.
P(F^c)=0,8.
Agora calcule as contribuições:
P(S\mid F)\,P(F)=0,7\cdot 0,2=0,14,
P(S\mid F^c)\,P(F^c)=0,25\cdot 0,8=0,20.
Somando as contribuições:
P(S)=0,14+0,20=0,34.
Interpretação: a probabilidade de sucesso ao final de 2 anos é \,0,34 (ou seja, 34%).

Passo 5

Resolver (b) — uso do complementar e interpretação.
A pergunta pede a probabilidade de “não ter sucesso” entre os que não tiveram financiamento: isto é \,P(S^c\mid F^c). Usamos a propriedade complementar condicionada:
P(S^c\mid F^c)=1-P(S\mid F^c).
Substituindo o valor dado \,P(S\mid F^c)=0,25:
P(S^c\mid F^c)=1-0,25=0,75.
Interpretação: dentre os que não tiveram financiamento, 75% não tiveram sucesso em 2 anos.

Passo 6

Resolver (c) — ideia e fórmula: Teorema de Bayes.
Explicação didática do Teorema de Bayes: quando queremos inverter uma probabilidade condicional (por exemplo, saber \,P(F\mid S) a partir de \,P(S\mid F)), usamos:
P(F\mid S)=\frac{P(S\cap F)}{P(S)}=\frac{P(S\mid F)\,P(F)}{P(S)}.
Aqui P(S) já foi obtido pela lei da probabilidade total no passo anterior.

Passo 7

Aplicar Bayes com os números (cálculos detalhados).
Já temos P(S\mid F)\,P(F)=0,14 (do passo 4) e P(S)=0,34 (do passo 4). Então
P(F\mid S)=\frac{0,14}{0,34}.
Podemos simplificar a fração: \,0,14/0,34 = \dfrac{14}{34}=\dfrac{7}{17}. Em forma decimal:
P(F\mid S)=\frac{7}{17}\approx 0,4117647\approx 0,412.
Interpretação: se sabemos que o empreendimento foi bem-sucedido, a probabilidade de que ele tenha recebido financiamento é aproximadamente 41,2\%.

Passo 8

Resumo final e interpretação curta (motivacional).
  • (a) Usamos a soma das contribuições dos dois casos (com e sem financiamento) para achar a probabilidade total de sucesso.
  • (b) Para “não sucesso” condicionado a não ter financiamento, usamos o complementar.
  • (c) Para inverter a condição (achar a probabilidade de financiamento dado sucesso) usamos Bayes.
    Você conseguiu! Esses três passos (probabilidade total, complementos e Bayes) são as ferramentas essenciais para questões desse tipo — treine mais um pouco com exemplos parecidos para ganhar confiança.

Resposta

(a) P(S)=0,34
(b) P(S^c\mid F^c)=0,75
(c) P(F\mid S)=\dfrac{7}{17}\approx 0,412

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