Suponha que X é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade f(x). Então a função de distribuição é, para todo x : ( 1 pt )
(a) F(x)=P(X \leq x)
(b) F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(u) d u
(c) F(x)=\sum_{x_{i} \leq x} f\left(x_{i}\right)
(d) Todas as anteriores
(e) Opções (a) e (b)
(f) Opçōes (a) e (c).

Passo 1

O enunciado diz: “Suponha que X é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade f(x). Então a função de distribuição é, para todo x :” e apresenta as opções (a) a (f).\n
Informações relevantes dadas:
  • X é uma variável aleatória contínua.
  • f(x) é a função de densidade de probabilidade (pdf) associada a X.\n
    O que se pede:
  • Identificar qual(is) das opções apresentadas representam corretamente a função de distribuição acumulada (CDF) F(x) de X.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar com calma o que é a função de distribuição acumulada (CDF). Definição: F(x) é a função que, para cada real x, dá a probabilidade de X ser menor ou igual a x. Em fórmula:
F(x)=P(X\leq x).
Isso corresponde exatamente à opção (a). Não tenha pressa: isso é só a definição intuitiva — "quanto de probabilidade está à esquerda de x".

Passo 3

Agora precisamos ligar essa definição à função densidade f(x) quando X é contínua. Para uma variável contínua com densidade f vale a regra básica:
P(a<X\le b)=\int_{a}^{b} f(u)\,du,
para quaisquer a<b. Essa é a interpretação da densidade: integra-se f sobre um intervalo para obter probabilidade naquele intervalo. A notação u é só uma variável de integração (poderia ser t ou y), e f(u) representa a altura da densidade em u.

Passo 4

A partir da relação do passo anterior podemos expressar F(x) como integral desde -\infty até x. Uma maneira formal é tomar um a muito negativo e escrever
F(x)=P(X\le x)=\lim_{a\to -\infty} P(a<X\le x)=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{x} f(u)\,du.
Como f é integrável e concentra toda a massa em (-\infty,\infty), esse limite é simplesmente a integral imprópria
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(u)\,du.
Isso coincide com a opção (b). Então (a) e (b) estão corretas e, para variável contínua, equivalentes entre si.

Passo 5

Vamos entender por que a opção (c) está errada no contexto dado. A opção (c) diz
F(x)=\sum_{x_i\le x} f(x_i).
Essa fórmula é a fórmula da função de distribuição para uma variável aleatória discreta: aí f(x_i) normalmente representa P(X=x_i) (uma função massa de probabilidade, pmf), e somamos as probabilidades dos pontos x_i até x. Para uma variável contínua, porém, f(x) não é P(X=x) — é uma densidade — e P(X=x)=0 para todo x (quando a distribuição é verdadeiramente contínua). Portanto a soma de valores pontuais f(x_i) não descreve F(x) no caso contínuo. Em outras palavras: (c) serve para distribuicoes discretas; não serve para contínuas.

Passo 6

Conclusão lógica das observações anteriores:
  • (a) é a definição de F(x).
  • (b) é a expressão integral de F(x) quando X é contínua com pdf f.
  • (c) é a expressão correta apenas para variáveis discretas — não se aplica aqui.\n
    Portanto a opção correta é a que afirma (a) e (b) simultaneamente.

Resposta

(e) Opções (a) e (b)

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