Suponha que
é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade
. Então a função de distribuição é, para todo
: ( 1 pt )
(a)
(b)
(c)
(d) Todas as anteriores
(e) Opções (a) e (b)
(f) Opçōes (a) e (c).
(a)
(b)
(c)
(d) Todas as anteriores
(e) Opções (a) e (b)
(f) Opçōes (a) e (c).
Passo 1
O enunciado diz: “Suponha que
é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade
. Então a função de distribuição é, para todo
:” e apresenta as opções (a) a (f).\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é uma variável aleatória contínua. -
é a função de densidade de probabilidade (pdf) associada a .\n
O que se pede: - Identificar qual(is) das opções apresentadas representam corretamente a função de distribuição acumulada (CDF)
de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar com calma o que é a função de distribuição acumulada (CDF). Definição:
é a função que, para cada real
, dá a probabilidade de
ser menor ou igual a
. Em fórmula:
Isso corresponde exatamente à opção (a). Não tenha pressa: isso é só a definição intuitiva — "quanto de probabilidade está à esquerda de
".
Passo 3
Agora precisamos ligar essa definição à função densidade
quando
é contínua. Para uma variável contínua com densidade
vale a regra básica:
para quaisquer
. Essa é a interpretação da densidade: integra-se
sobre um intervalo para obter probabilidade naquele intervalo. A notação
é só uma variável de integração (poderia ser
ou
), e
representa a altura da densidade em
.
Passo 4
A partir da relação do passo anterior podemos expressar
como integral desde
até
. Uma maneira formal é tomar um
muito negativo e escrever
Como
é integrável e concentra toda a massa em
, esse limite é simplesmente a integral imprópria
Isso coincide com a opção (b). Então (a) e (b) estão corretas e, para variável contínua, equivalentes entre si.
Passo 5
Vamos entender por que a opção (c) está errada no contexto dado. A opção (c) diz
Essa fórmula é a fórmula da função de distribuição para uma variável aleatória discreta: aí
normalmente representa
(uma função massa de probabilidade, pmf), e somamos as probabilidades dos pontos
até
. Para uma variável contínua, porém,
não é
— é uma densidade — e
para todo
(quando a distribuição é verdadeiramente contínua). Portanto a soma de valores pontuais
não descreve
no caso contínuo. Em outras palavras: (c) serve para distribuicoes discretas; não serve para contínuas.
Passo 6
Conclusão lógica das observações anteriores:
- (a) é a definição de
. - (b) é a expressão integral de
quando é contínua com pdf . - (c) é a expressão correta apenas para variáveis discretas — não se aplica aqui.\n
Portanto a opção correta é a que afirma (a) e (b) simultaneamente.
Resposta
(e) Opções (a) e (b)