Questão 2. Aplicações em estudos com variáveis ambientais. Em um estudo sobre a vazāo de um rio, coletou-se uma grande amostra de medições para cada período do ano obtendo-se os seguintes intervalos de confiança de 95 \% :
Período seco: \left[4,47 \mathrm{~m}^{3} /\right. minuto ; 5,31 \mathrm{~m}^{3} / minuto ]
Período chuvoso: \left[7,30 \mathrm{~m}^{3} /\right. minuto ; 8,28 \mathrm{~m}^{3} / minuto ]
( 3,0 pontos) Sabendo que a vazão X desse rio segue o modelo normal e assumindo que as variâncias amostrais obtidas foram exatamente as mesmas S^{2}=36\left(\mathrm{~m}^{3} / \text { minuto }\right)^{2} tanto para o período seco quanto para o período chuvoso, qual foi o tamanho da amostra em cada periodo? Em outras palavras, quantas medições da vazão foram feitas para cada um dos períodos acima?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o tamanho da amostra em cada período (quantas medições foram feitas no período seco e no período chuvoso), a partir dos intervalos de confiança de 95\% fornecidos e sabendo que as variâncias amostrais foram S^{2}=36 (\mathrm{m}^{3}/\text{minuto})^{2} para ambos os períodos.
Informações relevantes extraídas do enunciado / tabela:
Período seco: intervalo de 95\% é \left[4,47\\ \mathrm{m}^{3}/\text{min};\\\ 5,31\\ \mathrm{m}^{3}/\text{min}\right].
Período chuvoso: intervalo de 95\% é \left[7,30\\ \mathrm{m}^{3}/\text{min};\\\ 8,28\\ \mathrm{m}^{3}/\text{min}\right].
Variância amostral (dada): S^{2}=36 (\mathrm{m}^{3}/\text{min})^{2}, portanto S=6 (\mathrm{m}^{3}/\text{min}).
Também foi dito no enunciado que foi coletada uma “grande amostra” — guardo essa informação para a escolha do procedimento numérico.

Passo 2

Identificar a metade da largura (meia-espessura) de cada intervalo de confiança — esse valor é a margem de erro m usada na fórmula do intervalo. Vou pegar os dados dos extremos dos intervalos da tabela mencionada no enunciado.
Para o período seco: calcular a meia-espessura m_{\text{seco}} como metade da diferença entre os extremos:
m_{\text{seco}}=\frac{5,31-4,47}{2}.
Calculemos:
5,31-4,47=0,84\quad\Rightarrow\quad m_{\text{seco}}=\frac{0,84}{2}=0,42.

Passo 3

Agora para o período chuvoso, faço o mesmo para obter m_{\text{chuva}} (dados também retirados da tabela do enunciado):
m_{\text{chuva}}=\frac{8,28-7,30}{2}.
Calculemos:
8,28-7,30=0,98\quad\Rightarrow\quad m_{\text{chuva}}=\frac{0,98}{2}=0,49.

Passo 4

Explicar a fórmula a usar: para um intervalo de confiança de 95\% para a média quando usamos a estimativa amostral de desvio e a amostra é grande, a forma prática (aproximação normal) do intervalo é
\bar{X}\pm z_{0,975}\,\frac{S}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (não precisamos do valor aqui, apenas da margem),
  • z_{0,975} é o quantil 97{,}5\% da normal padrão (para 95\% de confiança), isto é z_{0,975}\approx 1{,}96,
  • S é o desvio padrão amostral (aqui S=6),
  • n é o tamanho da amostra (o que queremos achar).
    A margem de erro m (a meia-espessura do intervalo) satisfaz
m=z_{0,975}\,\frac{S}{\sqrt{n}}.
Justificativa da escolha do z: o enunciado diz “coletou-se uma grande amostra”, então a aproximação por normal padrão com z_{0,975}=1{,}96 é apropriada — evita ter de resolver uma equação com t_{n-1} e, além disso, com amostras grandes t é praticamente igual a z.

Passo 5

Isolar n na fórmula acima. Da relação
m=z_{0,975}\,\frac{S}{\sqrt{n}}
temos
\sqrt{n}=\frac{z_{0,975}\,S}{m}\quad\Rightarrow\quad n=\left(\frac{z_{0,975}\,S}{m}\right)^{2}.

Passo 6

Calcular n para o período seco usando m_{\text{seco}}=0,42, S=6 e z_{0,975}=1{,}96:
n_{\text{seco}}=\left(\frac{1{,}96\cdot 6}{0,42}\right)^{2}.
Calculemos passo a passo:
1{,}96\cdot 6=11{,}76,
\frac{11{,}76}{0,42}=28,
n_{\text{seco}}=28^{2}=784.

Passo 7

Calcular n para o período chuvoso usando m_{\text{chuva}}=0,49, S=6 e z_{0,975}=1{,}96:
n_{\text{chuva}}=\left(\frac{1{,}96\cdot 6}{0,49}\right)^{2}.
Calculemos passo a passo:
1{,}96\cdot 6=11{,}76,
\frac{11{,}76}{0,49}=24,
n_{\text{chuva}}=24^{2}=576.

Resposta

Período seco: n=784
Período chuvoso: n=576

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