Questão 2. Aplicações em estudos com variáveis ambientais. Em um estudo sobre a vazāo de um rio, coletou-se uma grande amostra de medições para cada período do ano obtendo-se os seguintes intervalos de confiança de
:
Período seco:
minuto
minuto
Período chuvoso:
minuto
minuto
( 3,0 pontos) Sabendo que a vazão
desse rio segue o modelo normal e assumindo que as variâncias amostrais obtidas foram exatamente as mesmas
tanto para o período seco quanto para o período chuvoso, qual foi o tamanho da amostra em cada periodo? Em outras palavras, quantas medições da vazão foram feitas para cada um dos períodos acima?
| Período seco: |
|
| Período chuvoso: |
|
Passo 1
O enunciado pede: determinar o tamanho da amostra em cada período (quantas medições foram feitas no período seco e no período chuvoso), a partir dos intervalos de confiança de
fornecidos e sabendo que as variâncias amostrais foram
para ambos os períodos.
Informações relevantes extraídas do enunciado / tabela:
Período seco: intervalo de é
.
Período chuvoso: intervalo de é
.
Variância amostral (dada):
, portanto
.
Também foi dito no enunciado que foi coletada uma “grande amostra” — guardo essa informação para a escolha do procedimento numérico.
Informações relevantes extraídas do enunciado / tabela:
Período seco: intervalo de
Período chuvoso: intervalo de
Variância amostral (dada):
Também foi dito no enunciado que foi coletada uma “grande amostra” — guardo essa informação para a escolha do procedimento numérico.
Passo 2
Identificar a metade da largura (meia-espessura) de cada intervalo de confiança — esse valor é a margem de erro
usada na fórmula do intervalo. Vou pegar os dados dos extremos dos intervalos da tabela mencionada no enunciado.
Para o período seco: calcular a meia-espessura como metade da diferença entre os extremos:
Para o período seco: calcular a meia-espessura
Calculemos:
Passo 3
Agora para o período chuvoso, faço o mesmo para obter
(dados também retirados da tabela do enunciado):
Calculemos:
Passo 4
Explicar a fórmula a usar: para um intervalo de confiança de
para a média quando usamos a estimativa amostral de desvio e a amostra é grande, a forma prática (aproximação normal) do intervalo é
onde:
-
é a média amostral (não precisamos do valor aqui, apenas da margem), -
é o quantil da normal padrão (para de confiança), isto é , -
é o desvio padrão amostral (aqui ), -
é o tamanho da amostra (o que queremos achar).
A margem de erro(a meia-espessura do intervalo) satisfaz
Justificativa da escolha do
: o enunciado diz “coletou-se uma grande amostra”, então a aproximação por normal padrão com
é apropriada — evita ter de resolver uma equação com
e, além disso, com amostras grandes
é praticamente igual a
.
Passo 5
Isolar
na fórmula acima. Da relação
temos
Passo 6
Calcular
para o período seco usando
,
e
:
Calculemos passo a passo:
Passo 7
Calcular
para o período chuvoso usando
,
e
:
Calculemos passo a passo:
Resposta
Período seco:
Período chuvoso:
Período chuvoso: