(a) Por inspeção, determine uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial x y^{\prime}=y\). Verifique que cada membro da família é uma solução do problema de valor inicial \(x y^{\prime}=y, y(0)=0\). (b) Explique o item (a) determinando uma região \(R\) no plano \(x y\) na qual a equação diferencial \(x y^{\prime}=y\) teria uma solução única através de um ponto \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) em \(R\). \text{(c)} Verifique que a função definida por partes \[y= \begin{cases}0, & x<0 \\\ x, & x \geq 0\end{cases}
satisfaz a condição (y(0)=0]. Determine se esta função é também uma solução do problema de valor inicial do item (a).

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial de primeira ordem
x\,y' = y
e pede em (a) uma família de soluções por inspeção e verificar que cada membro satisfaz o valor inicial y(0)=0\). Em (b) devemos indicar uma região \(R\) onde valem as hipóteses de existência e unicidade para \[y' = \frac{y}{x}
e, em (c), examinar se a função por partes
y(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ x, & x\ge 0 \end{cases}
satisfaz o IVP (x,y’=y,;y(0)=0].

Passo 2

Para x\neq0 a equação é separável. Escrevemos
\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x},
integramos e obtemos
\ln|y| = \ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad |y| = e^C\,|x|.
Definindo k = \pm e^C, concluímos a família de soluções
y(x) = k\,x,
para todo parâmetro real k. Além disso, y\equiv0 também surge ao tomar k=0.

Passo 3

Verificação do IVP em cada membro:
  • Condição inicial: para qualquer k,
y(0) = k\cdot 0 = 0.
  • Equação diferencial: se y(x)=k\,x, então y'(x)=k e
x\,y'(x) = x\cdot k = k\,x = y(x).
Logo cada reta y=kx satisfaz x\,y'=y e y(0)=0.

Passo 4

Para aplicar o teorema de existência e unicidade, escrevemos
y' = f(x,y),\quad f(x,y) = \frac{y}{x}.
A função f e sua derivada parcial \partial f/\partial y = 1/x são contínuas em qualquer região que não contenha x=0. Assim basta escolher
R = \{(x,y)\mid x>0\}\quad\text{ou}\quad R = \{(x,y)\mid x<0\}.
Em cada uma dessas metades do plano xy há existência e unicidade de solução para qualquer ponto (x_0,y_0) com x_0\neq0. Em x_0=0 a função f não está definida, e o teorema não garante unicidade no IVP passando por (0,0).

Passo 5

Analisando a função por partes
y(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ x, & x\ge 0, \end{cases}
vemos que y(0)=0. Para x<0, temos y'=0 e logo
x\,y' = x\cdot 0 = 0 = y.
Para x>0, y'=1 e
x\,y' = x\cdot1 = x = y.
Ela satisfaz a equação em todo x\neq0, mas em x=0 a derivada não existe (os limites laterais de y' são diferentes). Como solução clássica do IVP exige y de classe \mathcal{C}^1 num intervalo de 0, esta função não é uma solução do IVP em torno de x=0.

Resposta

(a) A família de soluções é y(x)=k\,x, k\in\mathbb{R}, que satisfaz y(0)=0 e x\,y'=y.
(b) Pode-se tomar R=\{(x,y)\mid x>0\} ou R=\{(x,y)\mid x<0\}, pois ali f(x,y)=y/x e \partial f/\partial y são contínuas, garantindo unicidade para x_0\neq0.
(c) A função por partes satisfaz y(0)=0 e a equação para x\neq0, mas não é \mathcal{C}^1 em x=0; portanto, não é solução clássica do IVP em torno de 0.

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