(a) Por inspeção, determine uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial
satisfaz a condição (y(0)=0]. Determine se esta função é também uma solução do problema de valor inicial do item (a).
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial de primeira ordem
e pede em (a) uma família de soluções por inspeção e verificar que cada membro satisfaz o valor inicial
e, em (c), examinar se a função por partes
satisfaz o IVP (x,y’=y,;y(0)=0].
Passo 2
Para
a equação é separável. Escrevemos
integramos e obtemos
Definindo
, concluímos a família de soluções
para todo parâmetro real
. Além disso,
também surge ao tomar
.
Passo 3
Verificação do IVP em cada membro:
- Condição inicial: para qualquer
,
- Equação diferencial: se
, então e
Logo cada reta
satisfaz
e
.
Passo 4
Para aplicar o teorema de existência e unicidade, escrevemos
A função
e sua derivada parcial
são contínuas em qualquer região que não contenha
. Assim basta escolher
Em cada uma dessas metades do plano
há existência e unicidade de solução para qualquer ponto
com
. Em
a função
não está definida, e o teorema não garante unicidade no IVP passando por
.
Passo 5
Analisando a função por partes
vemos que
. Para
, temos
e logo
Para
,
e
Ela satisfaz a equação em todo
, mas em
a derivada não existe (os limites laterais de
são diferentes). Como solução clássica do IVP exige
de classe
num intervalo de 0, esta função não é uma solução do IVP em torno de
.
Resposta
(a) A família de soluções é
,
, que satisfaz
e
.
(b) Pode-se tomar ou
, pois ali
e
são contínuas, garantindo unicidade para
.
(c) A função por partes satisfaz e a equação para
, mas não é
em
; portanto, não é solução clássica do IVP em torno de
.
(b) Pode-se tomar
(c) A função por partes satisfaz