(a) Verifique que y=\operatorname{tg}(x+c) é uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial y^{\prime}=1+y^{2}.
(b) Como f(x, y)=1+y^{2} e \partial f l \partial y=2 y são contínuas em toda parte, a região R no Teorema 1.1 pode ser tomada como sendo o plano x y inteiro. Utilize a família de soluções do item (a) para calcular uma solução explícita do problema de valor inicial de primeira ordem y^{\prime}=1+y^{2}, y(0)=0. Apesar de x_{0}=0 estar no intervalo -2<x<2, explique por que a soluçăo não é definida nesse intervalo.
(c) Determine o maior intervalo I de definição para a solução do problema de valor inicial no item (b).

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial de primeira ordem
y'=1+y^2
e pede: (a) verificar que
y=\operatorname{tg}(x+c)
é uma família de soluções de um parâmetro; (b) usar essa família para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'=1+y^2,\\\ y(0)=0, \end{cases}
e explicar por que tal solução não existe em todo o intervalo (-2,2); (c) determinar o maior intervalo de definição. Para isso vamos usar separação de variáveis e propriedades da função tangente.

Passo 2

Verificamos diretamente que
y(x)=\operatorname{tg}(x+c)
satisfaz a equação. De fato, aplicando derivada:
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{tg}(x+c)\bigr] =\operatorname{sec}^2(x+c) =1+\tan^2(x+c) =1+\bigl[\operatorname{tg}(x+c)\bigr]^{2} =1+y^2.
Logo essa família é de fato solução de y'=1+y^2.

Passo 3

Para impor a condição y(0)=0 devemos ter
0=y(0)=\operatorname{tg}(0+c)=\operatorname{tg}\text{(c)},
o que dá
c=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Tomando o caso mais simples c=0, a solução particular fica
y(x)=\operatorname{tg}(x).

Passo 4

A função \operatorname{tg}(x) tem assíntotas verticais onde x=\tfrac{\pi}{2}+n\pi. No nosso caso, com c=0, as singularidades mais próximas de x=0 ocorrem em
x=\pm\frac{\pi}{2}\approx\pm1,5708,
que estão dentro do intervalo (-2,2). Por isso, apesar de o Teorema de existência e unicidade garantir solução em algum subintervalo de (-2,2), não é possível estender y(x)=\tan x por todo (-2,2) sem encontrar uma assíntota em x=\pi/2.

Passo 5

O maior intervalo que contém x=0 e não cruza nenhuma singularidade de \tan x é
I=\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

(a) A família y=\operatorname{tg}(x+c) satisfaz y'=1+y^2.
(b) A solução do PVC é
y(x)=\operatorname{tg}(x),
que não existe em todo (-2,2) por causa das assíntotas em x=\pm\pi/2.
(c) O maior intervalo de definição é
I=\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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