(a) Verifique que
é uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial
.
(b) Como
e
são contínuas em toda parte, a região
no Teorema 1.1 pode ser tomada como sendo o plano
inteiro. Utilize a família de soluções do item (a) para calcular uma solução explícita do problema de valor inicial de primeira ordem
. Apesar de
estar no intervalo
, explique por que a soluçăo não é definida nesse intervalo.
(c) Determine o maior intervalo
de definição para a solução do problema de valor inicial no item (b).
(b) Como
(c) Determine o maior intervalo
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial de primeira ordem
e pede: (a) verificar que
é uma família de soluções de um parâmetro; (b) usar essa família para resolver o problema de valor inicial
e explicar por que tal solução não existe em todo o intervalo
; (c) determinar o maior intervalo de definição. Para isso vamos usar separação de variáveis e propriedades da função tangente.
Passo 2
Verificamos diretamente que
satisfaz a equação. De fato, aplicando derivada:
Logo essa família é de fato solução de
.
Passo 3
Para impor a condição
devemos ter
o que dá
Tomando o caso mais simples
, a solução particular fica
Passo 4
A função
tem assíntotas verticais onde
. No nosso caso, com
, as singularidades mais próximas de
ocorrem em
que estão dentro do intervalo
. Por isso, apesar de o Teorema de existência e unicidade garantir solução em algum subintervalo de
, não é possível estender
por todo
sem encontrar uma assíntota em
.
Passo 5
O maior intervalo que contém
e não cruza nenhuma singularidade de
é
Resposta
(a) A família
satisfaz
.
(b) A solução do PVC é
(b) A solução do PVC é
que não existe em todo
por causa das assíntotas em
.
(c) O maior intervalo de definição é
(c) O maior intervalo de definição é