Por inspeção, determine, se possível, uma solução real para a equação diferencial dada. \left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
\left|\frac{dy}{dx}\right|+|y|=1
e pede para, por inspeção, determinar uma solução real y(x). Informações e pedidos claros:
Procurar funções reais y(x) (definidas em algum intervalo da reta) que satisfaçam a equação para todo x do domínio.
A equação envolve valores absolutos de y e de y', então o sinal de y e o sinal de y' em cada intervalo importa.
É suficiente apresentar uma solução real; se aparecerem soluções óbvias (constantes), também valem.
Passo 2
Primeiro caso simples: constantes. Se y é constante então \dfrac{dy}{dx}=0. Substituindo na equação:
|0|+|y|=1 \quad\Rightarrow\quad |y|=1.
Logo as funções constantes
y(x)\equiv 1\quad\text{e}\quad y(x)\equiv -1
satisfazem a equação. Essas são soluções triviais e úteis para comparação.
Passo 3
Observação importante que ajuda a construir outras soluções: da equação
\left|\frac{dy}{dx}\right|=1-|y|
vemos que o lado direito deve ser não negativo, portanto para qualquer solução em qualquer ponto vale
|y(x)|\le 1.
Ou seja, soluções reais nunca ultrapassam em módulo o valor 1. Essa restrição orienta os casos a considerar.
Passo 4
Vamos tratar intervalos onde o sinal de y é constante (isto é, intervalos sem passar por zero). Primeiro considere intervalos onde y(x)\ge 0. Então |y|=y e a equação vira
Agora o lado direito 1-y é não negativo (porque y\le1), e temos duas subpossibilidades para o sinal de y'.
Passo 5
Caso A (em que y\ge 0 e y'\ge 0). Então |y'|=y', e a equação linear é
\frac{dy}{dx}=1-y.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem simples; resolvemos separando ou reconhecendo que é exponencial: escrevendo \dfrac{dy}{dx} + y = 1. A solução geral é
y(x)=1 - C e^{-x},
onde C é constante. Para manter a hipótese y'\ge 0 basta observar y'(x)=C e^{-x}, então C\ge 0. Para manter y\ge 0 num intervalo precisamos também que 1-Ce^{-x}\ge 0 nesse intervalo, i.e. Ce^{-x}\le 1 ou x\ge \ln C (se C>0). Se C=0 recuperamos y\equiv1.
Resumo deste ramo: famílias do tipo
y(x)=1 - C e^{-x},\quad C\ge 0,
válidas nos intervalos onde x\ge \ln C (para C>0) e com y'\ge0.
Passo 6
Caso B (em que y\ge 0 e y'\le 0). Então |y'|=-y', a equação é
-y' + y = 1 \quad\Rightarrow\quad y' = y-1.
Resolver: é novamente linear; solução geral
y(x)=1 + D e^{x},
com constante D. Para ter y'\le 0 precisamos y'(x)=D e^{x}\le0, então D\le 0. Escrevendo D=-B com B\ge0 obtemos
y(x)=1 - B e^{x},\qquad B\ge 0.
Manter y\ge 0 exige 1-B e^{x}\ge0, ou e^{x}\le 1/B quando B>0, isto é x\le \ln(1/B). Se B=0 novamente y\equiv1.
Resumo deste ramo: famílias do tipo
y(x)=1 - B e^{x},\quad B\ge 0,
válidas nos intervalos onde x\le \ln(1/B) (para B>0) e com y'\le0.
Passo 7
Agora tratar intervalos onde y(x)\le 0. Use a simetria: se y\le 0 então escreva z=-y\ge 0. Substituindo em \left|\dfrac{dy}{dx}\right|+|y|=1 obtemos
|z'| + z = 1,
que é exatamente a mesma equação que tratamos para funções não negativas. Portanto todas as famílias obtidas para y\ge 0 se traduzem em famílias para y\le0 por troca de sinal: basta negar as soluções positivas. Assim, além de y\equiv -1, há soluções negativas análogas:
y(x) = -\bigl(1 - C e^{-x}\bigr)\quad\text{ou}\quad y(x) = -\bigl(1 - B e^{x}\bigr)
com as mesmas restrições de domínio e de constantes (C,B ≥ 0) para garantir consistência de sinais.
Passo 8
Ponto importante sobre pontos em que y=0. Se em algum x_0 tivermos y(x_0)=0, da equação segue
ou seja a derivada tem módulo 1 no ponto em que a função passa por zero. Isso significa que os ramos positivos e negativos podem ser “emendados” em pontos onde y=0 desde que as inclinações coincidam (módulo e sinal) — é possível construir soluções C^1 contínuas juntando adequadamente os ramos exponenciais.
Passo 9
Construção por inspeção de uma solução real global simples e elegante: pegar um ramo crescente para x\ge0\) e o ramo simétrico para \(x\le0\) e emendar em \(x=0\). Tome \(C=1\) no ramo crescente (Passo 5) e a versão negativa simétrica no ramo esquerdo. Definimos
\[y(x)=\begin{cases} 1 - e^{-x}, & x\ge 0,\\[4pt] e^{x}-1, & x\le 0. \end{cases}
Verificações rápidas:
Para x\ge0\]: \(y(x)=1-e^{-x}\ge0 e y'(x)=e^{-x}\ge0. Então |y'|+|y|=e^{-x}+(1-e^{-x})=1.
Para x\le0: y(x)=e^{x}-1\le0 e y'(x)=e^{x}\ge0. Como y\le0 temos |y|=1-e^{x}; então |y'|+|y|=e^{x}+(1-e^{x})=1.
Na junção x=0: y(0)=0 e y'_-(0)=y'_+(0)=1, logo a função é C^1 e satisfaz a equação em todo \mathbb{R}.
Essa é uma solução não-constante definida para todo x\in\mathbb{R}, contínua e com derivada contínua.]
Passo 10
Resumo pedagógico (como identificar soluções semelhantes na prova):
Procure soluções constantes primeiro (aqui y\equiv\pm1).
Use a desigualdade imediata |y|\le1.
Em intervalos onde o sinal de y é fixo, elimine o valor absoluto de y e trate os dois sinais possíveis de y': isso reduz a equação a ODEs lineares simples y'=1-y ou y'=y-1.
Resolva cada ODE e verifique a consistência do sinal (isto garante o domínio do ramo).
Para obter solução global, emende ramos cuidando de que em pontos onde y=0 a condição |y'|=1 seja respeitada — isso permite emendar de forma C^1.