Por inspeção, determine, se possível, uma solução real para a equação diferencial dada.
\left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left|\frac{dy}{dx}\right| + |y| = 0
e pede que, por inspeção, se possível, se determine uma solução real.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão envolve o valor absoluto de \dfrac{dy}{dx} e de y.
  • A igualdade vale ponto a ponto (isto é, para cada x no domínio considerado).
  • Procura-se uma função real y(x) diferenciável (pois aparece \dfrac{dy}{dx}) que satisfaça essa igualdade.

Passo 2

Lembrete básico sobre valor absoluto (coisa bem importante aqui): para qualquer número real a vale
|a|\ge 0,
e |a|=0 se, e somente se, a=0. Isso significa que um valor absoluto nunca é negativo; a única forma de obter soma de termos absolutos igual a zero é fazer com que cada termo absoluto seja zero.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à equação dada: como \left|\dfrac{dy}{dx}\right|\ge 0 e |y|\ge 0 para cada x, e a soma das duas é 0, segue que em cada ponto x
\left|\frac{dy}{dx}\right| = 0 \qquad\text{e}\qquad |y| = 0.
Pelo lembrete do passo anterior, isso implica
\frac{dy}{dx}=0 \qquad\text{e}\qquad y=0
para todo x do domínio onde a equação é válida.

Passo 4

Da igualdade y=0 ponto a ponto segue imediatamente que a função y é a função nula: isto é, a única função que satisfaz |y|=0 para todo x é a função identicamente zero. Além disso, para essa função a derivada existe e é zero em todo ponto, compatível com \dfrac{dy}{dx}=0.

Passo 5

Verificação e observações extras (para ter confiança na resposta):
  • Não existe outra possibilidade contínua/diferenciável porque, se em algum ponto x_0 tivesse y(x_0)\neq0, então |y(x_0)|>0 e a soma não poderia ser zero naquele ponto.
  • A equação exige a existência de \dfrac{dy}{dx}. Se uma função não tiver derivada num ponto, ela não entra no conjunto de soluções pretendidas; mas a única candidata diferenciável que satisfaz a igualdade em todos os pontos é a função nula.

Resposta

y(x)=0

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