Por inspeção, determine, se possível, uma solução real para a equação diferencial dada. \left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|+1=0
Passo 1
O enunciado pede: “Por inspeção, determine, se possível, uma solução real para a equação diferencial dada \left|\dfrac{d y}{d x}\right|+|y|+1=0.”
Informações fornecidas no enunciado:
A equação envolve o valor absoluto da derivada \left|\dfrac{dy}{dx}\right|.
A equação envolve o valor absoluto da função |y|.
Há uma constante positiva 1 somada aos termos absolutos.
A pergunta é se existe alguma solução real y(x) que satisfaça essa igualdade (por inspeção).
Passo 2
Lembrete importante sobre valor absoluto (aula rápida e direta): para qualquer número real a vale |a|\ge 0.
Isto significa, em particular, que para qualquer função real y(x) e seu derivado y'(x), \left|\dfrac{dy}{dx}\right|\ge 0 e |y|\ge 0 em todo ponto onde y é definida.
Exemplo concreto para fixar: |3|=3\ge0, |-2|=2\ge0. O mesmo vale ponto a ponto para funções.
Passo 3
Propriedade útil sobre soma de não-negativos: se temos números reais a,b,c com a\ge0, b\ge0, c\ge0 e a+b+c=0, então necessariamente a=0, b=0 e c=0.
Justificativa curta: se algum dos três fosse estritamente positivo, a soma seria estritamente positiva, logo não poderia ser zero.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: em cada ponto x a equação dá \left|\dfrac{dy}{dx}\right|+|y|+1=0.
Pelas observações anteriores, \left|\dfrac{dy}{dx}\right|\ge0, |y|\ge0 e 1>0. A soma de três termos não-negativos que contém um termo igual a 1 (estritamente positivo) não pode ser igual a 0.
Usando a propriedade do passo anterior, se fosse possível ter a soma igual a zero então deveríamos ter simultaneamente \left|\dfrac{dy}{dx}\right|=0, |y|=0 e 1=0.
Mas a igualdade 1=0 é uma contradição imediata — é impossível em números reais.
Passo 5
Conclusão lógica: não existe nenhuma função real y(x) (nem localmente, nem globalmente) que satisfaça \left|\dfrac{dy}{dx}\right|+|y|+1=0, porque a presença do termo +1 impede a soma de ser zero.
Comentário motivador: é um daqueles exercícios “pegadinha” rápidos — às vezes a melhor inspeção é olhar sinais e perceber que a equação é impossível antes de tentar resolver.
Resposta
Não existe solução real para a equação \left|\dfrac{dy}{dx}\right|+|y|+1=0.