Por inspeção, determine uma solução particular de
y^{\prime \prime}+2 y=-4 x

Passo 1

O enunciado pede: determinar, por inspeção, uma solução particular da equação
y'' + 2y = -4x.
Informações dadas e o que é solicitado:
  • A equação diferencial é de segunda ordem, com termo não-homogêneo -4x.
  • Queremos apenas uma solução particular (uma função y_p(x) que satisfaça a equação quando substituída), não a solução geral.

Passo 2

O que é uma solução particular e como escolher um palpite “por inspeção”.
  • Uma solução particular y_p é qualquer função que, ao substituir na equação, faça a igualdade valer.
  • Como o lado direito -4x é um polinômio de grau 1, o palpite natural para y_p é também um polinômio de grau 1:
y_p(x)=ax+b,
onde a e b são constantes a determinar.
  • Justificativa do palpite: métodos de coeficientes a determinar dizem que, quando a forçante é um polinômio, tentamos um polinômio de mesma forma, salvo casos de ressonância. Aqui a solução da homogênea é feita por funções trigonométricas (não polinomiais), então não há ressonância com polinômios — portanto ax+b é apropriado.

Passo 3

Calcular derivadas do palpite e substituir na equação.
  • Derivadas de y_p:
y_p'(x)=a,
y_p''(x)=0.
  • Substituindo em \;y''+2y=-4x\;:
0 + 2(ax+b) = -4x.

Passo 4

Igualar coeficientes e resolver para a e b.
  • Desenvolvendo a expressão:
2ax + 2b = -4x.
  • Igualando coeficiente de x:
2a = -4 \quad\Rightarrow\quad a = -2.
  • Igualando termo constante:
2b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0.

Passo 5

Escrever a solução particular encontrada e verificar rapidamente.
  • Com a=-2 e b=0 temos
y_p(x) = -2x.
  • Verificação: y_p''=0 e 2y_p = 2(-2x) = -4x, logo
y_p'' + 2y_p = 0 + (-4x) = -4x,
que coincide com a forçante — está correto.

Resposta

y_p(x)=-2x

Exercícios relacionados