Por inspeção, determine uma solução particular de
Passo 1
O enunciado pede: determinar, por inspeção, uma solução particular da equação
Informações dadas e o que é solicitado:
- A equação diferencial é de segunda ordem, com termo não-homogêneo
. - Queremos apenas uma solução particular (uma função
que satisfaça a equação quando substituída), não a solução geral.
Passo 2
O que é uma solução particular e como escolher um palpite “por inspeção”.
- Uma solução particular
é qualquer função que, ao substituir na equação, faça a igualdade valer. - Como o lado direito
é um polinômio de grau , o palpite natural para é também um polinômio de grau :
onde
e
são constantes a determinar.
- Justificativa do palpite: métodos de coeficientes a determinar dizem que, quando a forçante é um polinômio, tentamos um polinômio de mesma forma, salvo casos de ressonância. Aqui a solução da homogênea é feita por funções trigonométricas (não polinomiais), então não há ressonância com polinômios — portanto
é apropriado.
Passo 3
Calcular derivadas do palpite e substituir na equação.
- Derivadas de
:
- Substituindo em
:
Passo 4
Igualar coeficientes e resolver para
e
.
- Desenvolvendo a expressão:
- Igualando coeficiente de
:
- Igualando termo constante:
Passo 5
Escrever a solução particular encontrada e verificar rapidamente.
- Com
e temos
- Verificação:
e , logo
que coincide com a forçante — está correto.