Determine uma solução particular de y^{\prime \prime}+2 y=-4 x+10.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial
y'' + 2y = -4x + 10.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i) O termo do lado direito é o polinômio } -4x+10 \text{ (grau }1\text{).}éô
\text{(ii) A equação é linear de coeficientes constantes.}çãé
Não há figura nem outra informação adicional. A tarefa é apenas determinar uma única solução particular y_p(x) que satisfaça a equação dada.

Passo 2

Ideia do método que vamos usar (explicação didática): método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A intuição é: quando o termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio de grau n, fazemos uma tentativa de solução particular também por um polinômio de grau n com coeficientes desconhecidos; depois substituímos na equação e determinamos esses coeficientes igualando termos. Vou explicar por quê: derivadas de polinômios continuam polinômios de grau menor ou igual, então as potências aparecem de forma comparável, permitindo igualar coeficientes. Se a forma tentativa coincidir com alguma solução da homogênea, multiplicamos por x suficiente para eliminar a coincidência (isso se chama tratar ressonância). Aqui eu explico cada variável e termo: em uma tentativa y_p(x)=ax+b, a e b são constantes desconhecidas que vamos determinar; y_p' é a derivada de y_p e y_p'' a segunda derivada.

Passo 3

Verificamos se há ressonância com a solução homogênea (isto é, se o polinômio do lado direito já seria solução da homogênea). Primeiro encontramos a equação característica da homogênea:
r^2+2=0.
Suas raízes são
r=\pm i\sqrt{2},
portanto as soluções da homogênea são combinações de funções trigonométricas \cos(\sqrt{2}x) e \sin(\sqrt{2}x), que não são polinômios. Conclusão: não há ressonância com um polinômio; logo a tentativa padrão para um polinômio de grau 1 é válida sem multiplicar por x.

Passo 4

Escolhemos a tentativa polinomial de grau 1:
y_p(x)=ax+b,
onde a e b são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
y_p'(x)=a,
y_p''(x)=0.

Passo 5

Substituímos y_p, y_p'' na equação original:
y_p''+2y_p=0+2(ax+b)=2ax+2b.
Isso deve ser igual ao lado direito -4x+10. Portanto igualamos coeficientes do polinômio:
2a=-4,
2b=10.

Passo 6

Resolvendo as igualdades para a e b:
a=\frac{-4}{2}=-2,
b=\frac{10}{2}=5.

Passo 7

Portanto a solução particular encontrada é
y_p(x)=-2x+5.
Podemos checar rapidamente: y_p''+2y_p=0+2(-2x+5)=-4x+10, que é exatamente o lado direito, logo está correto.

Resposta

-2x+5

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