Determine uma solução particular de
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há figura nem outra informação adicional. A tarefa é apenas determinar uma única solução particular
que satisfaça a equação dada.
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (explicação didática): método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A intuição é: quando o termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio de grau
, fazemos uma tentativa de solução particular também por um polinômio de grau
com coeficientes desconhecidos; depois substituímos na equação e determinamos esses coeficientes igualando termos. Vou explicar por quê: derivadas de polinômios continuam polinômios de grau menor ou igual, então as potências aparecem de forma comparável, permitindo igualar coeficientes. Se a forma tentativa coincidir com alguma solução da homogênea, multiplicamos por
suficiente para eliminar a coincidência (isso se chama tratar ressonância). Aqui eu explico cada variável e termo: em uma tentativa
,
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar;
é a derivada de
e
a segunda derivada.
Passo 3
Verificamos se há ressonância com a solução homogênea (isto é, se o polinômio do lado direito já seria solução da homogênea). Primeiro encontramos a equação característica da homogênea:
Suas raízes são
portanto as soluções da homogênea são combinações de funções trigonométricas
e
, que não são polinômios. Conclusão: não há ressonância com um polinômio; logo a tentativa padrão para um polinômio de grau
é válida sem multiplicar por
.
Passo 4
Escolhemos a tentativa polinomial de grau
:
onde
e
são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
Passo 5
Substituímos
,
na equação original:
Isso deve ser igual ao lado direito
. Portanto igualamos coeficientes do polinômio:
Passo 6
Resolvendo as igualdades para
e
:
Passo 7
Portanto a solução particular encontrada é
Podemos checar rapidamente:
, que é exatamente o lado direito, logo está correto.