A inspeção da qualidade para atributos possui conceitos relevantes que devem ser entendidos para que ocorra a aplicação das técnicas de amostragem com eficiência. Sendo assim, apresente os seguintes conceitos:
Limite da Qualidade de Saída Média

Passo 1

Você pediu que eu apresente o conceito “Limite da Qualidade de Saída Média”.
Informações dadas (apenas o que o enunciado pede):
  • Apresentar o conceito chamado “Limite da Qualidade de Saída Média”.
  • Não há outros dados numéricos fornecidos (plano de amostragem, tamanho de amostra, etc.).

Passo 2

Primeiro vamos entender o cenário em que esse conceito aparece (sem resolver nada ainda). Em inspeção por amostragem trabalhamos com:
  • Um lote de produtos que contém uma fração desconhecida de defeituosos; chamamos essa fração de \;p\; (proporção de itens defeituosos no lote).
  • Um plano de amostragem do tipo (n,c): escolhemos uma amostra de tamanho \;n\; do lote e aceitamos o lote se na amostra houver no máximo \;c\; itens defeituosos.
  • A probabilidade de aceitar o lote quando a proporção real de defeituosos é \;p\; chamamos de \;P_a(p)\;. Para grandes lotes (aproximação binomial) essa probabilidade é dada por:
P_a(p)=\sum_{i=0}^{c} \binom{n}{i}\,p^{\,i}\,(1-p)^{\,n-i}
Aqui \;i\; é o número de defeituosos na amostra (somamos as probabilidades de ocorrer 0,1,\dots,c defeituosos), e \binom{n}{i} é o coeficiente binomial.

Passo 3

Agora definimos a “Qualidade de Saída Média” (AOQ, em inglês Average Outgoing Quality). Expliquei o raciocínio passo a passo:
  • Se o lote tem proporção de defeito \;p\; e for aceito (ocorre com probabilidade \;P_a(p)), então todos os \;N\; unidades do lote são enviadas e a fração de defeituosos enviada é \;p.
  • Se o lote for rejeitado (probabilidade \;1-P_a(p)), supondo que se faça 100% de inspeção e se retire ou repara todos os defeituosos antes do envio, então a fração de defeituosos enviada após retrabalho é \;0.
  • Assim a qualidade média de saída (fração média de defeituosos enviada) é a esperança condicional:
\text{AOQ}(p)=p\cdot P_a(p)+0\cdot(1-P_a(p))=p\,P_a(p).
Explicando as variáveis: \;p\; = proporção real de defeituosos no lote; \;P_a(p)\; = probabilidade de aceitar o lote com essa proporção; \;\text{AOQ}(p)\; = proporção média de defeituosos que, no fim, sairá do processo sob esse plano.

Passo 4

Definição do “Limite da Qualidade de Saída Média” (AOQL, em inglês Average Outgoing Quality Limit):
  • O AOQL é o valor máximo da função \;\text{AOQ}(p)=p\,P_a(p)\; quando \;p\; varia entre \;0\; e \;1\;. Em símbolos:
\text{AOQL}=\max_{0\le p\le 1} \; p\,P_a(p).
  • Interpretação prática: é a pior qualidade média que você pode garantir (o pior caso, em termos de proporção média de defeituosos que sairão) quando se usa o plano de amostragem (n,c) com a política de inspeção total após rejeição. Ou seja, independente de qual seja a verdadeira \;p\;, a AOQ nunca excederá a AOQL.

Passo 5

Como calcular a AOQL na prática (passo-a-passo que dá pra aplicar na prova):
  1. Escreva \;P_a(p)\; para o plano (n,c) usando a soma binomial acima.
  2. Forme \;\text{AOQ}(p)=p\,P_a(p)\;.
  3. Procure o valor de \;p\; que maximiza \;\text{AOQ}(p). Duas formas comuns:
    • Se dá para derivar analiticamente, calcule \;\frac{d}{dp}\bigl( p\,P_a(p)\bigr)=0 e resolva (às vezes dá expressão simples em planos pequenos).
    • Caso a derivada seja complicada, faça uma busca numérica (avaliar \text{AOQ}(p) em uma malha de \;p\; e localizar o máximo). Em prova sem calculadora, quase sempre a derivada em planos simples leva a solução fechada.
  4. A AOQL é então \;\text{AOQ}\bigl(p^*\bigr)\;, onde \;p^*\; é o ponto que maximiza.

Passo 6

Exemplo concreto e didático (plano simples que dá para fazer na prova à mão): plano (n=5,c=0) — “aceita somente se não aparecer defeituoso na amostra”.
  • Primeiro escrevemos \;P_a(p)=(1-p)^5 (probabilidade de 0 defeituosos na amostra).
  • Então
\text{AOQ}(p)=p(1-p)^5.
  • Derivamos para achar o máximo:
\frac{d}{dp}\bigl(p(1-p)^5\bigr)=(1-p)^5 + p\cdot 5(1-p)^4(-1)=(1-p)^4\bigl((1-p)-5p\bigr)=(1-p)^4(1-6p).
  • Zeros relevantes: além de (1-p)^4=0 (que dá p=1, mínimo no contexto), temos 1-6p=0\Rightarrow p^*=\tfrac{1}{6}.
  • Avaliando a AOQ em p^*=\tfrac{1}{6}:
\text{AOQL}=\text{AOQ}\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)=\tfrac{1}{6}\Bigl(1-\tfrac{1}{6}\Bigr)^5=\tfrac{1}{6}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^5=\frac{3125}{46656}\approx 0{,}06696.
Ou seja, a AOQL é cerca de 6{,}7\% para esse plano (5,0). Passos detalhados de cálculo foram apresentados para você repetir na prova.

Passo 7

Notas práticas, interpretações e cuidados (como usar isso na prova e no trabalho):
  • AOQL é uma garantia do pior caso da qualidade média após a política (amostragem + inspeção total se rejeitado). Não confundir com AQL (Acceptable Quality Level), que é um nível aceitável para fins do produtor e ligado a riscos estatísticos.
  • Para lotes finitos, a probabilidade de aceitação pode ser calculada exatamente pela hipergeométrica: se o lote tem N itens e D defeituosos, então
P_a=\sum_{i=0}^{c}\frac{\binom{D}{i}\binom{N-D}{\,n-i\,}}{\binom{N}{n}}.
Nesse caso a AOQ pode ser ajustada conforme o tamanho do lote; mas para a maioria das análises clássicas usa-se a aproximação binomial (lotes grandes).
  • Em provas, quando pedirem AOQL: escreva \text{AOQL}=\max_{p}pP_a(p), explique o P_a(p) do plano e mostre como achar p^* (derivada ou avaliação numérica). Use exemplos simples para demonstrar se pedirem cálculo.
  • Lembre-se: AOQL assume que, quando o lote é rejeitado, ocorre inspeção total e remoção/reparo perfeito dos defeituosos — isso é hipótese da definição.

Resposta

O Limite da Qualidade de Saída Média (AOQL) é o valor máximo da qualidade média de saída \text{AOQ}(p)=p\,P_a(p) quando a proporção real de defeituosos \;p\; varia em [0,1]; em fórmula:
\text{AOQL}=\max_{0\le p\le1} p\,P_a(p),
onde \;P_a(p)=\sum_{i=0}^{c}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i} para um plano (n,c) (aproximação binomial).

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