A inspeção da qualidade para atributos possui conceitos relevantes que devem ser entendidos para que ocorra a aplicação das técnicas de amostragem com eficiência. Sendo assim, apresente os seguintes conceitos:
Tamanho Amostral Médio
Tamanho Amostral Médio
Passo 1
Você pediu para eu apresentar o conceito “Tamanho Amostral Médio”. \n
O que eu vou te entregar (lista do que devo cobrir): \n
O que eu vou te entregar (lista do que devo cobrir): \n
- Definição clara e intuitiva do conceito; \n
- Expressão matemática (fórmula) do tamanho amostral médio; \n
- Como calcular em planos típicos de inspeção por atributos (amostragem simples, amostragem dupla e amostragem com vários estágios); \n
- Um exemplo numérico passo a passo para você poder reproduzir na prova; \n
- Dicas práticas para a hora da prova. \n
Nenhuma outra informação foi fornecida no enunciado além do pedido do conceito, então vou assumir que devo explicar tudo do zero e com calma.
Passo 2
Definição intuitiva e motivo de existir. \n
“Tamanho Amostral Médio” é, na prática, a quantidade média (esperada) de itens que você precisará inspecionar em um plano de amostragem até que se tome uma decisão (aceitar ou rejeitar o lote). \n
Por que isso é importante? Porque amostrar custa tempo e dinheiro: planos que exigem muitas inspeções são caros; planos muito curtos podem aumentar risco de erro. O tamanho amostral médio (do inglês ASN: Average Sample Number) captura esse trade‑off, mostrando quanto será inspecionado, em média, para cada qualidade real do lote.
“Tamanho Amostral Médio” é, na prática, a quantidade média (esperada) de itens que você precisará inspecionar em um plano de amostragem até que se tome uma decisão (aceitar ou rejeitar o lote). \n
Por que isso é importante? Porque amostrar custa tempo e dinheiro: planos que exigem muitas inspeções são caros; planos muito curtos podem aumentar risco de erro. O tamanho amostral médio (do inglês ASN: Average Sample Number) captura esse trade‑off, mostrando quanto será inspecionado, em média, para cada qualidade real do lote.
Passo 3
Definição formal em termos probabilísticos. \n
Seja a variável aleatória que representa o número de unidades inspecionadas até a tomada de decisão (pode ser igual a um número fixo ou variar conforme o plano). \n
A definição formal é
Seja
A definição formal é
onde
é a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote (a “qualidade real” do lote). \n
Ou seja, o tamanho amostral médio é a esperança matemática do número de itens inspecionados, e normalmente é função de :
.
Ou seja, o tamanho amostral médio é a esperança matemática do número de itens inspecionados, e normalmente é função de
Passo 4
Caso mais simples: amostragem simples (plano de amostragem única). \n
Descrição do plano: você tira uma única amostra de tamanho fixo e, com base no número de defeituosos nela, decide aceitar ou rejeitar o lote. \n
Fórmula do ASN nesse caso:
Descrição do plano: você tira uma única amostra de tamanho fixo
Fórmula do ASN nesse caso:
Explicação: aqui
é determinístico (sempre inspeciona
itens), logo a esperança de
é
. Na hora da prova: se o enunciado disser "plano de amostragem simples com
" já responde.
Passo 5
Amostragem dupla: descrição do plano e fórmula do ASN. \n
Descrição padrão (modelo clássico de amostragem dupla): \n
Descrição padrão (modelo clássico de amostragem dupla): \n
- Primeiro inspeciona‑se
unidades e conta‑se defeituosos; \n - Se
aceita o lote imediatamente; \n - Se
rejeita o lote imediatamente; \n - Se
(zona de indecisão) faz‑se uma segunda amostra de unidades e, combinando os defeituosos, decide‑se. \n
Aquisegue uma distribuição binomial . \n
Probabilidade de precisar da segunda amostra é
Portanto o tamanho amostral médio é
Explicação do porquê: você sempre inspeciona
. Só inspeciona
adicionais quando cai na zona de indecisão; a probabilidade desse evento multiplica
na expectativa.
Passo 6
Exemplo numérico passo a passo (para internalizar o cálculo). \n
Considere um plano com ,
,
,
. Queremos
quando
(10% defeituosos). \n
Considere um plano com
- Primeiro identifique a variável
. \n - Calcule
, porque e : \n
- Use a fórmula da binomial:
- Calcule cada termo (vou mostrar os cálculos bem passo a passo): \n
- Para
:
Sabendo que
, temos
- Para
:
Sabendo que
, temos
- Some:
- Finalmente use a fórmula do ASN:
Interpretação: com essa qualidade real
, você espera inspecionar, em média, cerca de
unidades.
Passo 7
Generalização para vários estágios (amostragem em
estágios). \n
Se tiver amostras sequenciais com tamanhos e probabilidades de continuar após cada estágio dadas por eventos
(onde
= "continue após o estágio
"), a fórmula geral é
Se tiver amostras sequenciais com tamanhos
Cada
é calculada via distribuições conjuntas dos contadores de defeitos (em muitos casos usando binomial ou hipergeométrica, conforme o modelo do lote). \n
Raciocínio: soma dos tamanhos de amostra ponderada pela probabilidade de de fato chegar a cada estágio.
Raciocínio: soma dos tamanhos de amostra ponderada pela probabilidade de de fato chegar a cada estágio.
Passo 8
Observações úteis e interpretação prática (para prova). \n
-
é função de : para valores de muito abaixo do nível de aceitação, planos sequenciais costumam ter ASN menor (decisão rápida de aceitação); para muito acima do limite de rejeição, também costumam parar cedo; valores próximos ao limiar de decisão produzem ASN maiores (mais inspeção). \n - Em amostragem simples
é fixo — fácil de lembrar. Em planos sequenciais/dobra, calcule a probabilidade de continuar e multiplique pelos tamanhos dos estágios posteriores. \n - Para calcular combinações use
onde
é o fatorial de
. Ex.:
. \n
- Sempre deixe explícito no exame: escreva o plano (valores de
), identifique a distribuição (normalmente binomial), escreva a expressão de e então a expressão final do , antes de calcular numericamente.
Passo 9
Dicas práticas rápidas para a prova (passo a passo que você pode copiar na hora): \n
- Identifique o tipo de plano (único, duplo, múltiplo, sequencial). \n
- Escreva
= número de inspeções até decisão; escreva . \n - Se fixo (amostragem simples) responda
. \n - Se duplo/múltiplo, escreva o evento “continuar” e calcule sua probabilidade com a binomial (ou hipergeométrica se o lote for pequeno e amostragem sem reposição). \n
- Monte a expressão do tipo
e calcule. \n - Interprete o valor obtido em termos de custo/tempo.
Resposta
Tamanho Amostral Médio (ASN) é a expectativa do número de unidades inspecionadas até a decisão (aceitar ou rejeitar), escrito como
onde
é a proporção verdadeira de defeituosos. Para planos comuns: \n
- Amostragem simples:
- Amostragem dupla (com
e ):
com
- Plano em
estágios (generalização):
onde
é o evento "continuar após o estágio
".