A inspeção da qualidade para atributos possui conceitos relevantes que devem ser entendidos para que ocorra a aplicação das técnicas de amostragem com eficiência. Sendo assim, apresente os seguintes conceitos:
Tamanho Amostral Médio

Passo 1

Você pediu para eu apresentar o conceito “Tamanho Amostral Médio”. \n
O que eu vou te entregar (lista do que devo cobrir): \n
  • Definição clara e intuitiva do conceito; \n
  • Expressão matemática (fórmula) do tamanho amostral médio; \n
  • Como calcular em planos típicos de inspeção por atributos (amostragem simples, amostragem dupla e amostragem com vários estágios); \n
  • Um exemplo numérico passo a passo para você poder reproduzir na prova; \n
  • Dicas práticas para a hora da prova. \n
    Nenhuma outra informação foi fornecida no enunciado além do pedido do conceito, então vou assumir que devo explicar tudo do zero e com calma.

Passo 2

Definição intuitiva e motivo de existir. \n
“Tamanho Amostral Médio” é, na prática, a quantidade média (esperada) de itens que você precisará inspecionar em um plano de amostragem até que se tome uma decisão (aceitar ou rejeitar o lote). \n
Por que isso é importante? Porque amostrar custa tempo e dinheiro: planos que exigem muitas inspeções são caros; planos muito curtos podem aumentar risco de erro. O tamanho amostral médio (do inglês ASN: Average Sample Number) captura esse trade‑off, mostrando quanto será inspecionado, em média, para cada qualidade real do lote.

Passo 3

Definição formal em termos probabilísticos. \n
Seja N a variável aleatória que representa o número de unidades inspecionadas até a tomada de decisão (pode ser igual a um número fixo ou variar conforme o plano). \n
A definição formal é
\text{ASN}(p)=\mathbb{E}[N],
onde p é a proporção verdadeira de itens defeituosos no lote (a “qualidade real” do lote). \n
Ou seja, o tamanho amostral médio é a esperança matemática do número de itens inspecionados, e normalmente é função de p: \text{ASN}=\text{ASN}(p).

Passo 4

Caso mais simples: amostragem simples (plano de amostragem única). \n
Descrição do plano: você tira uma única amostra de tamanho fixo n e, com base no número de defeituosos nela, decide aceitar ou rejeitar o lote. \n
Fórmula do ASN nesse caso:
\text{ASN}(p)=n.
Explicação: aqui N é determinístico (sempre inspeciona n itens), logo a esperança de N é n. Na hora da prova: se o enunciado disser "plano de amostragem simples com n" já responde.

Passo 5

Amostragem dupla: descrição do plano e fórmula do ASN. \n
Descrição padrão (modelo clássico de amostragem dupla): \n
  • Primeiro inspeciona‑se n_1 unidades e conta‑se X_1 defeituosos; \n
  • Se X_1 \le c_1 aceita o lote imediatamente; \n
  • Se X_1 \ge c_2+1 rejeita o lote imediatamente; \n
  • Se c_1 < X_1 \le c_2 (zona de indecisão) faz‑se uma segunda amostra de n_2 unidades e, combinando os defeituosos, decide‑se. \n
    Aqui X_1 segue uma distribuição binomial X_1\sim \text{Bin}(n_1,p). \n
    Probabilidade de precisar da segunda amostra é
\Pr(c_1 < X_1 \le c_2)=\sum_{k=c_1+1}^{c_2} \binom{n_1}{k} p^k (1-p)^{\,n_1-k}.
Portanto o tamanho amostral médio é
\text{ASN}(p)=n_1 + n_2\cdot \Pr(c_1 < X_1 \le c_2).
Explicação do porquê: você sempre inspeciona n_1. Só inspeciona n_2 adicionais quando cai na zona de indecisão; a probabilidade desse evento multiplica n_2 na expectativa.

Passo 6

Exemplo numérico passo a passo (para internalizar o cálculo). \n
Considere um plano com n_1=10, n_2=10, c_1=0, c_2=2. Queremos \text{ASN} quando p=0,1 (10% defeituosos). \n
  1. Primeiro identifique a variável X_1\sim \text{Bin}(10,0,1). \n
  2. Calcule \Pr(1\le X_1\le 2), porque c_1=0 e c_2=2: \n
\Pr(1\le X_1\le 2)=\Pr(X_1=1)+\Pr(X_1=2).
  1. Use a fórmula da binomial:
\Pr(X_1=k)=\binom{10}{k} (0{,}1)^k (0{,}9)^{10-k}.
  1. Calcule cada termo (vou mostrar os cálculos bem passo a passo): \n
  • Para k=1:
\Pr(X_1=1)=\binom{10}{1}(0{,}1)^1(0{,}9)^9=10\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9^9.
Sabendo que 0{,}9^9\approx 0{,}38742, temos
\Pr(X_1=1)\approx 10\cdot 0{,}1\cdot 0{,}38742=0{,}38742.
  • Para k=2:
\Pr(X_1=2)=\binom{10}{2}(0{,}1)^2(0{,}9)^8=45\cdot 0{,}01\cdot 0{,}9^8.
Sabendo que 0{,}9^8\approx 0{,}430467, temos
\Pr(X_1=2)\approx 45\cdot 0{,}01\cdot 0{,}430467\approx 0{,}19371.
  1. Some:
\Pr(1\le X_1\le 2)\approx 0{,}38742+0{,}19371=0{,}58113.
  1. Finalmente use a fórmula do ASN:
\text{ASN}(0{,}1)=10 + 10\cdot 0{,}58113 \approx 15{,}8113.
Interpretação: com essa qualidade real p=0{,}1, você espera inspecionar, em média, cerca de 15{,}8 unidades.

Passo 7

Generalização para vários estágios (amostragem em m estágios). \n
Se tiver amostras sequenciais com tamanhos n_1,n_2,\dots,n_m e probabilidades de continuar após cada estágio dadas por eventos C_1,C_2,\dots (onde C_j = "continue após o estágio j"), a fórmula geral é
\text{ASN}(p)=n_1 + n_2\Pr(C_1) + n_3\Pr(C_1\cap C_2) + \cdots + n_m\Pr(C_1\cap\cdots\cap C_{m-1}).
Cada \Pr(\cdots) é calculada via distribuições conjuntas dos contadores de defeitos (em muitos casos usando binomial ou hipergeométrica, conforme o modelo do lote). \n
Raciocínio: soma dos tamanhos de amostra ponderada pela probabilidade de de fato chegar a cada estágio.

Passo 8

Observações úteis e interpretação prática (para prova). \n
  • \text{ASN}(p) é função de p: para valores de p muito abaixo do nível de aceitação, planos sequenciais costumam ter ASN menor (decisão rápida de aceitação); para p muito acima do limite de rejeição, também costumam parar cedo; valores próximos ao limiar de decisão produzem ASN maiores (mais inspeção). \n
  • Em amostragem simples n é fixo — fácil de lembrar. Em planos sequenciais/dobra, calcule a probabilidade de continuar e multiplique pelos tamanhos dos estágios posteriores. \n
  • Para calcular combinações use
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n. Ex.: \binom{10}{2}=45. \n
  • Sempre deixe explícito no exame: escreva o plano (valores de n_1,n_2,c_1,c_2), identifique a distribuição (normalmente binomial), escreva a expressão de \Pr(\text{continuar}) e então a expressão final do \text{ASN}, antes de calcular numericamente.

Passo 9

Dicas práticas rápidas para a prova (passo a passo que você pode copiar na hora): \n
  1. Identifique o tipo de plano (único, duplo, múltiplo, sequencial). \n
  2. Escreva N = número de inspeções até decisão; escreva \text{ASN}(p)=\mathbb{E}[N]. \n
  3. Se fixo (amostragem simples) responda \text{ASN}=n. \n
  4. Se duplo/múltiplo, escreva o evento “continuar” e calcule sua probabilidade com a binomial (ou hipergeométrica se o lote for pequeno e amostragem sem reposição). \n
  5. Monte a expressão do tipo n_1 + n_2\Pr(\text{continuar})+\dots e calcule. \n
  6. Interprete o valor obtido em termos de custo/tempo.

Resposta

Tamanho Amostral Médio (ASN) é a expectativa do número de unidades inspecionadas até a decisão (aceitar ou rejeitar), escrito como
\text{ASN}(p)=\mathbb{E}[N],
onde p é a proporção verdadeira de defeituosos. Para planos comuns: \n
  • Amostragem simples:
\text{ASN}(p)=n.
  • Amostragem dupla (com n_1,n_2,c_1,c_2 e X_1\sim\text{Bin}(n_1,p)):
\text{ASN}(p)=n_1 + n_2\Pr(c_1 < X_1\le c_2)
com
\Pr(c_1 < X_1\le c_2)=\sum_{k=c_1+1}^{c_2}\binom{n_1}{k}p^k(1-p)^{n_1-k}.
  • Plano em m estágios (generalização):
\text{ASN}(p)=n_1 + n_2\Pr(C_1) + n_3\Pr(C_1\cap C_2)+\cdots + n_m\Pr(C_1\cap\cdots\cap C_{m-1}),
onde C_j é o evento "continuar após o estágio j".

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