Sobre a amostragem simples, responda:
a) Uma medida importante do desempenho de um plano de amostragem de aceitação é a curva característica de operação (CCO). O que a CCO mostra e de que forma é obtida a CCO ideal?
b) O que é o poder discriminatório da CCO? O número de aceitação e o tamanho da amostra estão relacionados com o poder discriminatório da CCO? Justifique.
a) Uma medida importante do desempenho de um plano de amostragem de aceitação é a curva característica de operação (CCO). O que a CCO mostra e de que forma é obtida a CCO ideal?
b) O que é o poder discriminatório da CCO? O número de aceitação e o tamanho da amostra estão relacionados com o poder discriminatório da CCO? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
a) Explicar o que a curva característica de operação (CCO) mostra e explicar de que forma se obteria a CCO ideal.
b) Explicar o que é o poder discriminatório da CCO e dizer se o número de aceitação e o tamanho da amostra estão relacionados com esse poder, com justificativa.
a) Explicar o que a curva característica de operação (CCO) mostra e explicar de que forma se obteria a CCO ideal.
b) Explicar o que é o poder discriminatório da CCO e dizer se o número de aceitação e o tamanho da amostra estão relacionados com esse poder, com justificativa.
Informações/dados que vamos usar (tudo que é relevante para responder):
- Estamos em amostragem simples (uma só amostra).
- Denotarei por
o tamanho da amostra, por o número de aceitação (aceita-se o lote se forem encontrados defeituosos na amostra) e por a proporção de itens defeituosos no lote (hipótese variável que percorre ). - A CCO é a função que, para cada
, dá a probabilidade de aceitar o lote, que vou chamar de . - Vou usar o modelo binomial (correto quando o lote é grande ou quando assumimos independência entre itens amostrados) para escrever
. Se o lote for pequeno usaríamos hipergeométrica — farei uma observação sobre isso.
Não estou resolvendo nada ainda; só organizei o que é pedido e as variáveis que usarei.
Passo 2
O que a CCO mostra — explicação didática e fórmula básica.
- Intuição simples: a CCO mostra “quão provável é que um lote com proporção de defeitos
seja aceito pelo plano de amostragem”. Ou seja, ela responde: se o lote tiver exatamente defeituosos, qual é a probabilidade de a amostra nos levar a aceitar o lote? - Matematicamente, para amostragem simples com modelo binomial, a probabilidade de aceitar um lote com defeito
é a soma das probabilidades de observar defeituosos na amostra de tamanho . Em fórmula:
Expliquei cada símbolo:
= tamanho da amostra;
= número máximo de defeituosos permitido (número de aceitação);
= proporção real de defeituosos no lote;
= combinação que conta de quantas maneiras podemos ter exatamente
defeituosos na amostra.
- Como se obtém a curva: você calcula
para muitos valores de entre e (na prática entre e algo como se defeitos são raros) e plota no eixo vertical contra no eixo horizontal. Esse gráfico — de para — é a CCO.
Passo 3
O que é a CCO ideal e como se “obtém” essa idealização.
- CCO ideal (intuitivo): a CCO perfeita/discriminadora seria uma função degrau que vale
(aceita sempre) para todos os menores que um limiar aceitável e vale (rejeita sempre) para . Em desenho é um degrau vertical em . Isso quer dizer que ela separa perfeitamente lotes bons de lotes ruins sem erro. - Como se obtém isso na prática (explicação passo a passo):
- Se você fizer inspeção com 100% de verificação (inspecionar todo o lote), a decisão fica determinística: se a proporção real no lote for
você aceita, caso contrário rejeita. Isso gera uma CCO em degrau (na prática o limiar depende da regra de aceitação). Então inspeção completa produz a CCO ideal. - Alternativamente, tomando
numa amostragem probabilística, a variabilidade da proporção amostral tende a zero (por causa da lei dos grandes números). Assim a probabilidade de aceitar passa de uma transição suave para uma transição quase vertical em torno do limiar definido por . Em termos técnicos: o estimador proporção observada tem variância ; quando cresce, a variância diminui e a distribuição de se concentra em torno de , fazendo a curva ficar mais íngreme. No limite obtemos o degrau ideal.
- Se você fizer inspeção com 100% de verificação (inspecionar todo o lote), a decisão fica determinística: se a proporção real no lote for
- Observação prática: não existe amostragem finita que seja perfeitamente ideal; a CCO ideal é uma referência teórica (limite quando inspeciona-se tudo ou
muito grande).
Passo 4
Como calcular na prática e um pequeno exemplo numérico (para fixar).
- Fórmula usada (já dada):
- Exemplo rápido (bem didático): suponha
e . Para (5% defeituosos) a probabilidade de aceitar é
Eu poderia calcular numericamente (mas você pode fazer na prova somando os termos); o importante é entender que para cada
soma-se até
.
- Se o lote for pequeno e a amostra for uma retirada sem reposição, usa-se distribuição hipergeométrica em vez de binomial — a ideia (aceitar com
defeituosos) permanece, só a fórmula muda.
Passo 5
O que é o poder discriminatório da CCO — explicação conceitual e formal leve.
- Conceito intuitivo e amigável: o poder discriminatório é a capacidade da CCO de separar lotes “bons” de lotes “ruins”. Ou seja, é uma medida de quão abrupta/íngreme é a transição de
de valores próximos a para valores próximos a quando aumenta. Uma curva muito inclinada (quase degrau) tem alto poder discriminatório; uma curva suave (declínio gradual) tem baixo poder discriminatório. - Uma forma de quantificar é olhar para a inclinação da CCO na região de transição (a derivada
) ou medir a largura da faixa de na qual cai, por exemplo, de para . Quanto menor essa largura, maior o poder discriminatório.
Passo 6
Relação entre
,
e o poder discriminatório — justificativa técnica e intuitiva.
- Efeito do tamanho da amostra
: aumentar aumenta o poder discriminatório. Justificativa matemática simples: a proporção amostral tem variância
Isso significa que o desvio padrão de
é proporcional a
. Quanto menor a variabilidade da estatística que usamos para decidir, mais “nítida” será a decisão entre aceitar e rejeitar, logo a CCO fica mais íngreme. Uma aproximação útil (para
grande) usa a aproximação normal da soma binomial e dá
onde
é a função de distribuição normal padrão. Note que o termo no numerador cresce proporcionalmente a
(pois
aparece) e o denominador cresce como
, portanto a razão cresce como
— isto explica por que a transição fica mais rápida quando
aumenta. Conclusão: aumentar
torna a CCO mais íngreme → maior poder discriminatório.
- Efeito do número de aceitação
: alterar desloca e altera a forma da CCO. Intuitivamente: - Aumentar
torna o plano mais permissivo: para um mesmo a probabilidade de aceitar aumenta, e a curva desloca-se para a direita (ou sobe em cada ). Isso reduz a probabilidade de rejeitar lotes razoavelmente ruins, então, dependendo do ajuste, pode diminuir a discriminação entre próximo de . - Diminuir
torna o plano mais rigoroso: curva desloca-se para a esquerda (aceita menos) e pode aumentar a capacidade de separar bons de maus lotes na região de interesse. - Em termos de inclinação:
não altera diretamente a dependência de variância com , mas muda o ponto onde a transição ocorre ( é um parâmetro de referência). Assim, e trabalham juntos para fixar o limiar e a nitidez da curva.
- Aumentar
- Resumo prático: para aumentar o poder discriminatório você, tipicamente, aumenta
(amostra maior) e escolhe adequado (normalmente menor se quiser ser mais rigoroso). A combinação é usada para garantir riscos desejados (produtor/consumidor) em pontos AQL e LTPD: escolhe-se e de tal forma que
onde
é o risco do produtor e
é o risco do consumidor. Esses dois pontos fixam a forma da CCO na região que interessa e determinam indiretamente o poder discriminatório prático do plano.
Passo 7
Observações finais, dicas para prova (tom amigável e prático).
- Na prova: se pedirem a expressão da CCO, escreva a soma binomial
. Explique cada termo. Se for pedido o “ideal”, diga que é o degrau (obtem-se com inspeção total ou ). - Se pedirem justificativa sobre
e : explique que afeta a variância da estatística e, portanto, a nitidez da curva; muda o limiar de aceitação e, em conjunto com , define quão abrupta e onde é a transição. Use a aproximação normal para convencer o avaliador se quiser mais rigor. - Fica a dica motivadora: pensando nesses dois parâmetros como “onde” (
) e “quão certo” ( ) você torna a explicação natural e fácil de lembrar.
Resposta
(a) A CCO mostra, para cada proporção de defeitos
, a probabilidade de aceitar o lote:
. A CCO ideal é um degrau que aceita todos os lotes com
abaixo de um limiar e rejeita todos acima; esse degrau é obtido em inspeção completa (100% de verificação) ou como limite quando
na amostragem probabilística.
(b) O poder discriminatório é a capacidade da CCO de separar lotes bons de ruins — é medido pela inclinação/abrupticidade da curva na região de transição. Sim: o tamanho da amostra e o número de aceitação
influenciam o poder discriminatório. Aumentar
diminui a variância da proporção amostral (
) e torna a transição mais íngreme (maior poder discriminatório); alterar
desloca a posição da transição (e, em conjunto com
, afeta a nitidez e os riscos do plano).
(b) O poder discriminatório é a capacidade da CCO de separar lotes bons de ruins — é medido pela inclinação/abrupticidade da curva na região de transição. Sim: o tamanho da amostra