(a) Por inspeção, resolva a equação: |ccc1 & x & x^2 1 & 1 & 1 1 & -3 & 9|=0
(b) É possível haver outras soluções? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes de
D(x)= 1 & x & x^2 1 & 1 & 1 1 & -3 & 9 =0,
que é um determinante que se anula quando as linhas ficam linearmente dependentes. Vamos usar álgebra de determinantes e fatoração de polinômio.

Passo 2

Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para criar zeros na primeira coluna nessas linhas:
linha2' = (1,1,1)-(1,x,x^2)=(0,,1-x,,1-x^2),
linha3' = (1,-3,9)-(1,x,x^2)=(0,,-3-x,,9-x^2)
O determinante não muda sob essas operações de linha.

Passo 3

Expandindo o determinante pela primeira coluna obtemos
D(x) =1cdot 1-x & 1-x^2 -3-x & 9-x^2
Calculamos esse menor:
De<a &=(1-x)(9-x^2)-(1-x^2)(-3-x) &=9-9x -x^2 +x^3 ;-;l(-3 -x +3x^2 +x^3r) &=12-8x-4x^2

Passo 4

Fatorando De<a:
De<a = -4l(x^2+2x-3r) =-4(x+3)(x-1)
Logo
D(x)=0Longrightarrow -4(x+3)(x-1)=0
Longrightarrow x+3=0ou x-1=0
Longrightarrow x=-3ou x=1

Passo 5

O determinante é um polinômio em x de grau 2, que tem exatamente duas raízes (contando multiplicidades). Encontramos x=-3 e x=1, então não há outras soluções.

Resposta

x=1 ou x=-3. Não existem outras soluções.

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