INSPIRADO NO STEWART (Óptica Geométrica e Ângulos) Um farol marítimo rotativo está posicionado em uma ilha pequena a 3 \boldsymbol{k m} de distância de uma costa retilínea. O feixe de luz do farol gira a uma velocidade angular constante de \mathbf{4} revoluções por minuto. Determine a velocidade linear horizontal com que o feixe luminoso varre a praia no ponto que fica a exatamente 5 km de distância linear direta do farol.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a distância perpendicular do farol até a costa retilínea é 3\\ \text{km}.
  • Dado: o feixe gira com velocidade angular constante de 4 revoluções por minuto.
  • Dado: queremos a velocidade linear horizontal do ponto em que o feixe incide na praia, no ponto cuja distância direta (reta) ao farol é 5\\ \text{km}.
  • Pedido: determinar a velocidade com que a mancha de luz se move ao longo da praia naquele ponto — ou seja, a velocidade horizontal dx/dt ao longo da linha da praia, no instante em que a distância direta do farol até o ponto é 5\\ \text{km}.

Passo 2

Escolher variáveis e geometryzinha para escrever a relação.
  • Coloco o pé da perpendicular do farol à praia como origem O sobre a praia. Seja x a distância ao longo da praia medida a partir de O até o ponto iluminado (essa é a velocidade horizontal que queremos, dx/dt).
  • A distância direta do farol ao ponto iluminado é r. Pela geometria do triângulo retângulo entre o farol, o pé da perpendicular e o ponto na praia vale
r=\sqrt{x^{2}+3^{2}}.
  • O enunciado diz que naquele ponto específico r=5\\ \text{km}. Logo podemos achar x.

Passo 3

Calcular x usando r=5.
5=\sqrt{x^{2}+3^{2}}\quad\Rightarrow\quad 25=x^{2}+9\quad\Rightarrow\quad x^{2}=16\quad\Rightarrow\quad x=4\\ \text{km}.
(Escolhemos a raiz positiva porque x é distância ao longo da praia.)

Passo 4

Relacionar x com o ângulo que o feixe faz e explicar por que isso facilita diferenciar.
  • Defino \theta como o ângulo medido no farol entre a direção perpendicular à praia (linha até O) e a direção do feixe até o ponto na praia. Então, do triângulo retângulo:
\tan\theta=\frac{x}{3}.
  • Isolando x:
x=3\tan\theta.
Explicação curta da fórmula usada: \tan\theta é a razão entre o cateto oposto ( x) e o cateto adjacente ( 3), por isso \tan\theta=x/3. Isso é útil porque conhecemos a velocidade angular d\theta/dt do feixe e queremos a velocidade linear dx/dt; basta derivar essa relação.

Passo 5

Derivar a relação x=3\tan\theta em relação ao tempo e explicar a derivada usada.
  • Derivando ambos os lados em relação a t:
\frac{dx}{dt}=3\frac{d}{dt}(\tan\theta).
  • Regra de derivação: a derivada de \tan\theta em relação a \theta é \operatorname{sec}^{2}\theta. Aplicando cadeia:
\frac{d}{dt}(\tan\theta)=\operatorname{sec}^{2}\theta\cdot\frac{d\theta}{dt}.
  • Portanto
\frac{dx}{dt}=3\operatorname{sec}^{2}\theta\cdot\frac{d\theta}{dt}.
Comentário didático: \operatorname{sec}\theta é 1/\cos\theta, e \operatorname{sec}^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta. Isso é útil porque já sabemos \tan\theta no ponto de interesse.

Passo 6

Encontrar \theta no ponto (ou pelo menos \tan\theta e \operatorname{sec}^{2}\theta) e obter d\theta/dt.
  • No ponto de interesse temos x=4 e a base 3, logo
\tan\theta=\frac{x}{3}=\frac{4}{3}.
  • Usando a identidade \operatorname{sec}^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta:
\operatorname{sec}^{2}\theta=1+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}.
  • Agora a velocidade angular: 4 revoluções por minuto é, em radianos por minuto,
\frac{d\theta}{dt}=4\\ \text{rev/min}\times 2\pi\\ \frac{\text{rad}}{\text{rev}}=8\pi\\ \text{rad/min}.

Passo 7

Substituir tudo em \dfrac{dx}{dt}=3\operatorname{sec}^{2}\theta\,\dfrac{d\theta}{dt} e calcular.
\frac{dx}{dt}=3\cdot\frac{25}{9}\cdot 8\pi.
Calcular passo a passo sem calculadora:
3\cdot\frac{25}{9}=\frac{75}{9}=\frac{25}{3},
logo
\frac{dx}{dt}=\frac{25}{3}\cdot 8\pi=\frac{200\pi}{3}\\ \text{km/min}.
Valor aproximado (se quiser ter noção numérica): \dfrac{200\pi}{3}\approx 209{,}44\\ \text{km/min}. É uma velocidade muito grande — normal: a mancha de luz na praia pode percorrer longas distâncias muito rapidamente porque o eixo rotativo traduz rotações em deslocamentos lineares grandes quanto mais longe é o ponto.

Resposta

\dfrac{200\pi}{3}\\ \text{km/min} \approx 209{,}44\\ \text{km/min}

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