INSPIRADO NO STEWART (Óptica Geométrica e Ângulos) Um farol marítimo rotativo está posicionado em uma ilha pequena a
de distância de uma costa retilínea. O feixe de luz do farol gira a uma velocidade angular constante de
revoluções por minuto. Determine a velocidade linear horizontal com que o feixe luminoso varre a praia no ponto que fica a exatamente 5 km de distância linear direta do farol.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a distância perpendicular do farol até a costa retilínea é
. - Dado: o feixe gira com velocidade angular constante de
revoluções por minuto. - Dado: queremos a velocidade linear horizontal do ponto em que o feixe incide na praia, no ponto cuja distância direta (reta) ao farol é
. - Pedido: determinar a velocidade com que a mancha de luz se move ao longo da praia naquele ponto — ou seja, a velocidade horizontal
ao longo da linha da praia, no instante em que a distância direta do farol até o ponto é .
Passo 2
Escolher variáveis e geometryzinha para escrever a relação.
- Coloco o pé da perpendicular do farol à praia como origem
sobre a praia. Seja a distância ao longo da praia medida a partir de até o ponto iluminado (essa é a velocidade horizontal que queremos, ). - A distância direta do farol ao ponto iluminado é
. Pela geometria do triângulo retângulo entre o farol, o pé da perpendicular e o ponto na praia vale
- O enunciado diz que naquele ponto específico
. Logo podemos achar .
Passo 3
Calcular
usando
.
(Escolhemos a raiz positiva porque
é distância ao longo da praia.)
Passo 4
Relacionar
com o ângulo que o feixe faz e explicar por que isso facilita diferenciar.
- Defino
como o ângulo medido no farol entre a direção perpendicular à praia (linha até ) e a direção do feixe até o ponto na praia. Então, do triângulo retângulo:
- Isolando
:
Explicação curta da fórmula usada:
é a razão entre o cateto oposto (
) e o cateto adjacente (
), por isso
. Isso é útil porque conhecemos a velocidade angular
do feixe e queremos a velocidade linear
; basta derivar essa relação.
Passo 5
Derivar a relação
em relação ao tempo e explicar a derivada usada.
- Derivando ambos os lados em relação a
:
- Regra de derivação: a derivada de
em relação a é . Aplicando cadeia:
- Portanto
Comentário didático:
é
, e
. Isso é útil porque já sabemos
no ponto de interesse.
Passo 6
Encontrar
no ponto (ou pelo menos
e
) e obter
.
- No ponto de interesse temos
e a base , logo
- Usando a identidade
:
- Agora a velocidade angular:
revoluções por minuto é, em radianos por minuto,
Passo 7
Substituir tudo em
e calcular.
Calcular passo a passo sem calculadora:
logo
Valor aproximado (se quiser ter noção numérica):
. É uma velocidade muito grande — normal: a mancha de luz na praia pode percorrer longas distâncias muito rapidamente porque o eixo rotativo traduz rotações em deslocamentos lineares grandes quanto mais longe é o ponto.