Uma instalação consiste das seguintes cargas, ligadas em paralelo:
Carga \mathrm{n}^{\circ} 1 - Iluminação incandescente 9,5 \mathrm{~kW}
Carga \mathrm{n}^{\circ} 2 - Forno elétrico de indução 6 \mathrm{~kW}, \mathrm{fp}=0,8 ind.
Carga \mathrm{n}^{\circ} 3- Motor de C.A de indução 9 \mathrm{HP}, \mathrm{fp}=0,8 ind, rendimento =75 \%
A tensão eficaz é de 220 V e a frequência é 50 Hz . Determine:
a) As potências \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{S} de todas as cargas
b) O fator de potência da instalação
c) Desenhe o triângulo de potências com valores totais e com o ângulo \theta
d) A corrente eficaz do circuito
(1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) calcular as potências ativa \,P, reativa \,Q e aparente \,S de cada carga;
  • (b) calcular o fator de potência da instalação (total);
  • (c) desenhar (descrever) o triângulo de potências com os valores totais e o ângulo \theta;
  • (d) calcular a corrente eficaz do circuito.
Informações fornecidas (dados do enunciado):
  • Tensão eficaz: \,220\\ \mathrm{V} e frequência \,50\\ \mathrm{Hz}.
  • Carga nº 1 — Iluminação incandescente: \,9,5\\ \mathrm{kW}.
  • Carga nº 2 — Forno de indução: \,6,0\\ \mathrm{kW}, \mathrm{fp}=0,8 indutivo.
  • Carga nº 3 — Motor de indução: \,9\\ \mathrm{HP}, \mathrm{fp}=0,8 indutivo, rendimento \eta=75\%.
Observações/assunções necessárias (informo explicitamente):
  • Vou interpretar os números dados em kW (ou HP) como potências ativas (potência real) das cargas (ou, no caso do motor, a potência mecânica de saída em HP que será convertida para potência elétrica de entrada usando o rendimento).
  • Para a iluminação incandescente assumimos comportamento resistivo (fator de potência igual a 1), pois não foi dado outro \mathrm{fp}.
  • Usarei a relação padrão entre P,Q,S e \mathrm{fp} (explicarei no passo seguinte).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Potência aparente \,S é a magnitude da potência complexa e tem unidade volt-ampere (VA). Representamos \,S em kVA quando dividido por 1000.
  • Potência ativa \,P (kW) é a potência “real” consumida (energia transformada em calor, trabalho, luz, etc.).
  • Potência reativa \,Q (kVAr) é a potência que oscila entre fonte e reatância (indutiva ou capacitiva) e não realiza trabalho útil. Indutiva significa Q>0 (chamamos isso de “lagging”).
  • Relação geométrica (triângulo de potências): a potência aparente, ativa e reativa formam um triângulo retângulo: \,S^2 = P^2 + Q^2.
  • Fator de potência: \displaystyle \mathrm{fp}=\cos\varphi=\frac{P}{S}, onde \varphi é o ângulo entre P (eixo horizontal) e S.
  • Se conhecemos \mathrm{fp} e P, podemos achar S por \,S=\dfrac{P}{\mathrm{fp}}.
  • Se conhecemos \mathrm{fp} também podemos obter \tan\varphi=\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{fp}^2}-1}, e então Q=P\tan\varphi.
  • Conversão de potência mecânica em watts: \,1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}.
  • Se um motor entrega P_{\text{mec}} e tem rendimento \eta, a potência elétrica de entrada (ativa) é \,P_{\text{el}}=\dfrac{P_{\text{mec}}}{\eta}.
  • Corrente eficaz (monofásica) a partir da potência aparente: \,I=\dfrac{S}{V} (com S em VA e V em V).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo às três cargas.

Passo 3

Carga nº 1 — Iluminação incandescente:
  • Dado: \,P_1=9,5\\ \mathrm{kW}. Incandescente é essencialmente resistiva, então assumimos \mathrm{fp}_1=1.
  • Potência reativa: \displaystyle Q_1=0\\ \mathrm{kVAr} (pois \mathrm{fp}=1 \Rightarrow Q=0).
  • Potência aparente: \displaystyle S_1=\sqrt{P_1^2+Q_1^2}=P_1=9,5\\ \mathrm{kVA}.

Passo 4

Carga nº 2 — Forno de indução:
  • Dado: \,P_2=6,0\\ \mathrm{kW} e \mathrm{fp}_2=0,8 (indutivo).
  • Primeiro encontramos o ângulo \varphi_2 associado ao fator de potência: \displaystyle \varphi_2=\operatorname{arccos}(0,8). Não precisamos do valor em graus para todos os cálculos, mas é útil para interpretar.
  • Calculamos \tan\varphi_2 via a identidade \tan\varphi=\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{fp}^2}-1}. Com \mathrm{fp}=0,8:
    \displaystyle \tan\varphi_2=\sqrt{\dfrac{1}{0,8^2}-1}=\sqrt{\dfrac{1}{0,64}-1}=\sqrt{1,5625-1}= \sqrt{0,5625}=0,75.
  • Potência reativa: \displaystyle Q_2=P_2\tan\varphi_2=6,0\cdot 0,75=4,5\\ \mathrm{kVAr} (como é indutivo, escrevemos Q_2=+4,5\\ \mathrm{kVAr}).
  • Potência aparente: \displaystyle S_2=\frac{P_2}{\mathrm{fp}_2}=\frac{6,0}{0,8}=7,5\\ \mathrm{kVA}. (confere com \sqrt{6,0^2+4,5^2}=\sqrt{36+20,25}=\sqrt{56,25}=7,5).

Passo 5

Carga nº 3 — Motor de indução:
  • Dado: 9\\ \mathrm{HP} de saída mecânica, \mathrm{fp}_3=0,8 indutivo, rendimento \eta=75\%=0,75.
  • Converter potência mecânica para kW: \displaystyle P_{\text{mec}}=9\cdot 746\\ \mathrm{W}=6\,714\\ \mathrm{W}=6,714\\ \mathrm{kW}. (usei a relação 1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}).
  • Potência elétrica de entrada (ativa): \displaystyle P_3=\frac{P_{\text{mec}}}{\eta}=\frac{6,714}{0,75}=8,952\\ \mathrm{kW}. (a máquina consome aproximadamente 8,952\\ \mathrm{kW} da rede).
  • Como \mathrm{fp}_3=0,8 (mesmo fator de potência do forno), o \tan\varphi_3 também é 0,75.
  • Potência reativa do motor: \displaystyle Q_3=P_3\tan\varphi_3=8,952\cdot 0,75=6,714\\ \mathrm{kVAr}. (indutiva, então Q_3>0).
  • Potência aparente: \displaystyle S_3=\frac{P_3}{\mathrm{fp}_3}=\frac{8,952}{0,8}=11,19\\ \mathrm{kVA}. (confere: \sqrt{8,952^2+6,714^2}\approx 11,19).

Passo 6

Somatórios (potências totais da instalação):
  • Soma das potências ativas:
    \displaystyle P_{\text{tot}}=P_1+P_2+P_3=9,5+6,0+8,952=24,452\\ \mathrm{kW}.
  • Soma das potências reativas (todas indutivas ou nulas aqui):
    \displaystyle Q_{\text{tot}}=Q_1+Q_2+Q_3=0+4,5+6,714=11,214\\ \mathrm{kVAr}.
  • Potência aparente total (magnitude do vetor): S_{\text{tot}}=\sqrt{P_{\text{tot}}^2+Q_{\text{tot}}^2} =\sqrt{24,452^2+11,214^2}\approx 26,900\\ \mathrm{kVA}.(mostrei a relação; o cálculo numérico deu aproximadamente 26,900\\ \mathrm{kVA}).
  • Fator de potência total: \mathrm{fp}_{\text{tot}}=\frac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}}=\frac{24,452}{26,900}\approx 0,909\\ (\text{lag}).
  • Ângulo total \varphi_{\text{tot}} associado:
    \displaystyle \varphi_{\text{tot}}=\operatorname{arccos}(0,909)\approx 24,5^\circ.

Passo 7

Triângulo de potências (descrição numérica):
  • Eixo horizontal (base): potência ativa total \,P_{\text{tot}}=24,452\\ \mathrm{kW}.
  • Eixo vertical (altura): potência reativa total \,Q_{\text{tot}}=11,214\\ \mathrm{kVAr} (para cima, pois reativo indutivo).
  • Hipotenusa: potência aparente total \,S_{\text{tot}}=26,900\\ \mathrm{kVA}.
  • Ângulo entre P_{\text{tot}} e S_{\text{tot}}: \varphi_{\text{tot}}\approx 24,5^\circ.
    (Esse é o triângulo: P na base, Q no cateto vertical, S hipotenusa, ângulo \varphi entre P e S.)

Passo 8

Corrente eficaz do circuito (monofásica):
  • Usamos \displaystyle I=\frac{S_{\text{tot}}}{V} com S_{\text{tot}} em volt-ampere e V em volt.
  • Convertendo S_{\text{tot}}=26,900\\ \mathrm{kVA}=26\,900\\ \mathrm{VA} e V=220\\ \mathrm{V}: I=\frac{26\,900}{220}\approx 122,27\\ \mathrm{A}.
  • Portanto a corrente eficaz que alimenta a instalação é aproximadamente 122,3\\ \mathrm{A} (fase a neutro/linha, monofásico).

Resposta

(a) Carga 1: P_1=9,5\\ \mathrm{kW},\; Q_1=0\\ \mathrm{kVAr},\; S_1=9,5\\ \mathrm{kVA}.
Carga 2: P_2=6,0\\ \mathrm{kW},\; Q_2=4,5\\ \mathrm{kVAr},\; S_2=7,5\\ \mathrm{kVA}.
Carga 3: P_3=8,952\\ \mathrm{kW},\; Q_3=6,714\\ \mathrm{kVAr},\; S_3=11,19\\ \mathrm{kVA}.
Totais: P_{\text{tot}}=24,452\\ \mathrm{kW},\; Q_{\text{tot}}=11,214\\ \mathrm{kVAr},\; S_{\text{tot}}\approx 26,900\\ \mathrm{kVA}.
(b) Fator de potência da instalação: \mathrm{fp}_{\text{tot}}\approx 0,909 (indutivo / lagging).
(c) Triângulo de potências (valores totais): base P_{\text{tot}}=24,452\\ \mathrm{kW}, altura Q_{\text{tot}}=11,214\\ \mathrm{kVAr}, hipotenusa S_{\text{tot}}\approx 26,900\\ \mathrm{kVA}, ângulo \varphi_{\text{tot}}\approx 24,5^\circ.
(d) Corrente eficaz do circuito: I\approx 122,27\\ \mathrm{A}.

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