Resolver las siguientes ec. diferenciales por Laplace
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
Informações relevantes:
- A equação vale para
. O é a função degrau unitário (ou seja, para o lado direito é ). - Queremos obter
para usando a transformada de Laplace e retornar a solução em domínio do tempo. - As condições iniciais são
e .
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e propriedades úteis (aula curta e direta):
- Definição: para uma função
de crescimento adequado, sua transformada é
- Propriedade linear:
. - Transformada das derivadas (essencial para resolver ODEs com condições iniciais). Se
, então
Expliquei o que cada símbolo significa:
é a variável da transformada (complexa, mas aqui tratamos como parâmetro real > certa constante),
é a transformada de
, e
são as condições iniciais.
- Transformada de
:
No nosso caso
, então
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial e usar as condições iniciais:
Tomando Laplace de ambos os lados,
Tomando Laplace de ambos os lados,
Usando as fórmulas das derivadas e
:
Agora expandimos e agrupamos os termos em
e os termos conhecidos:
Agrupando os termos em
e os termos constantes:
Isolando
:
Passo 4
Escrever
e separar em parcelas tratáveis:
Vamos tratar cada parcela separadamente para inverter a transformada.
Primeiro fatoramos o denominador quadrático
. Calculamos as raízes:
Então as raízes são
e, portanto,
Passo 5
Inversão da segunda parcela simples por frações parciais:
Fração a decompor:
Fração a decompor:
Procuramos
tais que
Multiplicando por
obtemos
Igualando coeficientes (ou avaliando em dois pontos) obtemos o sistema:
Resolvendo:
Logo
Invertendo a Laplace dessas duas parcelas (lembrando
):
Portanto a inversa da segunda parcela é
Passo 6
Tratar a primeira parcela (produto de transformadas): observação e estratégia
A primeira parcela é
A primeira parcela é
Notamos que
é
. A outra fator
é também transformada de alguma função
; vamos encontrá-la por frações parciais para depois usar o teorema da convolução, que diz:
Então a inversa da primeira parcela será a convolução
.
Passo 7
Encontrar
por frações parciais:
Já factoramos . Procuramos
tais que
Já factoramos
Multiplicando e igualando coeficientes obtemos
Isto leva a
Resolvendo:
. Logo
Invertendo a Laplace:
Passo 8
Aplicar a convolução para obter a inversa da primeira parcela:
Temos que a primeira parcela em domínio do tempo é
Temos que a primeira parcela em domínio do tempo é
Substituindo
:
Fatorando as exponenciais que dependem de
:
Agora precisamos calcular integrais do tipo
Usamos a primitiva conhecida (pode-se obter por integração por partes ou lembrar fórmula):
Portanto, avaliando de
a
:
Aplicamos com
(primeiro integral) e com
(segundo integral).
Para
:
e
Multiplicando pelo fator externo
e pelo
obtemos a contribuição:
Simplificando coeficientes resulta em
para a primeira parcela dentro de
.
Para
:
e
Multiplicando pelo fator externo
e lembrando o sinal negativo do segundo termo em
, obtemos a contribuição subtraída
mas com sinal negativo (pela subtração), de modo que a segunda parcela contribui
Agora subtraímos a segunda contribuição da primeira (já organizada). Fazendo
e simplificando os coeficientes obtemos, depois de juntar termos com o mesmo tipo de função, a forma explícita:
(Se quiser checar, esses números saem das operações fracionárias explícitas mostradas acima; verifiquei que ao somar as peças a solução satisfaz as condições iniciais.)
Passo 9
Somar a solução homogênea obtida no Passo 5 com a contribuição
do Passo 8:
Agrupando termos exponenciais:
E os termos trigonométricos já aparecem como:
Portanto a solução final é: