Resolver las siguientes ec. diferenciales por Laplace
\quad 5 \frac{d^{2}}{d t^{2}} v(t)+3 \frac{d}{d t} v(t)-2 v(t)=\operatorname{sen}(6 t) u(t) ; \quad v(0)=2, \quad \frac{d}{d t} v(0)=3

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
5\frac{d^{2}}{dt^{2}}v(t)+3\frac{d}{dt}v(t)-2v(t)=\sin(6t)\,u(t), \qquad v(0)=2,\qquad v'(0)=3.
Informações relevantes:
  • A equação vale para t\ge 0. O u(t) é a função degrau unitário (ou seja, para t\ge0 o lado direito é \sin(6t)).
  • Queremos obter v(t) para t\ge0 usando a transformada de Laplace e retornar a solução em domínio do tempo.
  • As condições iniciais são \;v(0)=2 e \;v'(0)=3.

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e propriedades úteis (aula curta e direta):
  • Definição: para uma função f(t) de crescimento adequado, sua transformada é
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Propriedade linear: \mathcal{L}\{a f + b g\}=aF + bG.
  • Transformada das derivadas (essencial para resolver ODEs com condições iniciais). Se \mathcal{L}\{v(t)\}=V(s), então
\mathcal{L}\{v'(t)\}=sV(s)-v(0), \qquad \mathcal{L}\{v''(t)\}=s^{2}V(s)-s v(0)-v'(0).
Expliquei o que cada símbolo significa: s é a variável da transformada (complexa, mas aqui tratamos como parâmetro real > certa constante), V(s) é a transformada de v(t), e v(0),v'(0) são as condições iniciais.
  • Transformada de \sin(at):
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
No nosso caso a=6, então \mathcal{L}\{\sin(6t)\}=\dfrac{6}{s^{2}+36}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial e usar as condições iniciais:
Tomando Laplace de ambos os lados,
5\mathcal{L}\{v''\}+3\mathcal{L}\{v'\}-2\mathcal{L}\{v\}=\mathcal{L}\{\sin(6t)\}.
Usando as fórmulas das derivadas e v(0)=2,\;v'(0)=3:
5\big(s^{2}V(s)-s\cdot 2 -3\big) +3\big(sV(s)-2\big) -2V(s)=\frac{6}{s^{2}+36}.
Agora expandimos e agrupamos os termos em V(s) e os termos conhecidos:
5s^{2}V(s)-10s-15+3sV(s)-6-2V(s)=\frac{6}{s^{2}+36}.
Agrupando os termos em V(s) e os termos constantes:
(5s^{2}+3s-2) V(s) - (10s+21)=\frac{6}{s^{2}+36}.
Isolando V(s):
(5s^{2}+3s-2) V(s)=\frac{6}{s^{2}+36}+10s+21.

Passo 4

Escrever V(s) e separar em parcelas tratáveis:
V(s)=\frac{6}{(s^{2}+36)(5s^{2}+3s-2)} + \frac{10s+21}{5s^{2}+3s-2}.
Vamos tratar cada parcela separadamente para inverter a transformada.
Primeiro fatoramos o denominador quadrático 5s^{2}+3s-2. Calculamos as raízes:
\Delta=3^{2}-4\cdot5\cdot(-2)=9+40=49,\quad \sqrt{\Delta}=7.
Então as raízes são
s=\frac{-3\pm7}{10}\Rightarrow s_{1}=\frac{2}{5},\quad s_{2}=-1,
e, portanto,
5s^{2}+3s-2=5\big(s-\tfrac{2}{5}\big)(s+1).

Passo 5

Inversão da segunda parcela simples por frações parciais:
Fração a decompor:
\frac{10s+21}{5s^{2}+3s-2}=\frac{10s+21}{5(s-\tfrac{2}{5})(s+1)}.
Procuramos C,D tais que
\frac{10s+21}{5(s-\tfrac{2}{5})(s+1)}=\frac{C}{s-\tfrac{2}{5}}+\frac{D}{s+1}.
Multiplicando por 5(s-\tfrac{2}{5})(s+1) obtemos
10s+21=5C(s+1)+5D\big(s-\tfrac{2}{5}\big).
Igualando coeficientes (ou avaliando em dois pontos) obtemos o sistema:
5C+5D=10\quad\Rightarrow\quad C+D=2,
5C-2D=21.
Resolvendo:
D=-\tfrac{11}{7},\qquad C=\tfrac{25}{7}.
Logo
\frac{10s+21}{5s^{2}+3s-2}=\frac{25/7}{s-\tfrac{2}{5}}-\frac{11/7}{s+1}.
Invertendo a Laplace dessas duas parcelas (lembrando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{25/7}{s-\tfrac{2}{5}}\right\}=\frac{25}{7}e^{\tfrac{2}{5}t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{11/7}{s+1}\right\}=\frac{11}{7}e^{-t}.
Portanto a inversa da segunda parcela é
v_{1}(t)=\frac{25}{7}e^{\tfrac{2}{5}t}-\frac{11}{7}e^{-t}.

Passo 6

Tratar a primeira parcela (produto de transformadas): observação e estratégia
A primeira parcela é
\frac{6}{(s^{2}+36)(5s^{2}+3s-2)}=\frac{6}{s^{2}+36}\cdot\frac{1}{5s^{2}+3s-2}.
Notamos que \dfrac{6}{s^{2}+36} é \mathcal{L}\{\sin(6t)\}. A outra fator \dfrac{1}{5s^{2}+3s-2} é também transformada de alguma função h(t); vamos encontrá-la por frações parciais para depois usar o teorema da convolução, que diz:
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}=f*h, \qquad (f*h)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)h(t-\tau)\,d\tau.
Então a inversa da primeira parcela será a convolução \sin(6t)*h(t).

Passo 7

Encontrar h(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{5s^{2}+3s-2}\right\} por frações parciais:
Já factoramos 5s^{2}+3s-2=5(s-\tfrac{2}{5})(s+1). Procuramos E,F tais que
\frac{1}{5s^{2}+3s-2}=\frac{E}{s-\tfrac{2}{5}}+\frac{F}{s+1}.
Multiplicando e igualando coeficientes obtemos
1=5E(s+1)+5F\big(s-\tfrac{2}{5}\big).
Isto leva a
5(E+F)=0\quad\Rightarrow\quad E+F=0,
5E-2F=1.
Resolvendo: E=\tfrac{1}{7},\;F=-\tfrac{1}{7}. Logo
\frac{1}{5s^{2}+3s-2}=\frac{1/7}{s-\tfrac{2}{5}}-\frac{1/7}{s+1}.
Invertendo a Laplace:
h(t)=\frac{1}{7}e^{\tfrac{2}{5}t}-\frac{1}{7}e^{-t}.

Passo 8

Aplicar a convolução para obter a inversa da primeira parcela:
Temos que a primeira parcela em domínio do tempo é
w(t)=(\sin(6\cdot) * h)(t)=\int_{0}^{t}\sin(6\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Substituindo h:
w(t)=\frac{1}{7}\int_{0}^{t}\sin(6\tau)\,e^{\tfrac{2}{5}(t-\tau)}\,d\tau -\frac{1}{7}\int_{0}^{t}\sin(6\tau)\,e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
Fatorando as exponenciais que dependem de t:
w(t)=\frac{e^{\tfrac{2}{5}t}}{7}\int_{0}^{t}\sin(6\tau)e^{-\tfrac{2}{5}\tau}\,d\tau -\frac{e^{-t}}{7}\int_{0}^{t}\sin(6\tau)e^{\tau}\,d\tau.
Agora precisamos calcular integrais do tipo
I(\alpha,t)=\int_{0}^{t} e^{\alpha\tau}\sin(6\tau)\,d\tau.
Usamos a primitiva conhecida (pode-se obter por integração por partes ou lembrar fórmula):
\int e^{\alpha\tau}\sin(6\tau)\,d\tau = \frac{e^{\alpha\tau}\big(\alpha\sin(6\tau)-6\cos(6\tau)\big)}{\alpha^{2}+36}+C.
Portanto, avaliando de 0 a t:
I(\alpha,t)=\frac{e^{\alpha t}\big(\alpha\sin(6t)-6\cos(6t)\big)+6}{\alpha^{2}+36}.
Aplicamos com \alpha=-\tfrac{2}{5} (primeiro integral) e com \alpha=1 (segundo integral).
Para \alpha=-\tfrac{2}{5}:
\alpha^{2}+36=\frac{4}{25}+36=\frac{904}{25},
e
\int_{0}^{t}\sin(6\tau)e^{-\tfrac{2}{5}\tau}\,d\tau =\frac{e^{-\tfrac{2}{5}t}\big(-\tfrac{2}{5}\sin(6t)-6\cos(6t)\big)+6}{\tfrac{904}{25}}.
Multiplicando pelo fator externo e^{\tfrac{2}{5}t} e pelo 1/7 obtemos a contribuição:
\frac{1}{7}\,e^{\tfrac{2}{5}t}\cdot\frac{25}{904}\Big(-\tfrac{2}{5}\sin(6t)-6\cos(6t)+6e^{\tfrac{2}{5}t}\Big).
Simplificando coeficientes resulta em
\frac{75}{3164}e^{\tfrac{2}{5}t}-\frac{5}{452}\sin(6t)-\frac{75}{452}\cos(6t)
para a primeira parcela dentro de w(t).
Para \alpha=1:
\alpha^{2}+36=1+36=37,
e
\int_{0}^{t}\sin(6\tau)e^{\tau}\,d\tau =\frac{e^{t}\big(\sin(6t)-6\cos(6t)\big)+6}{37}.
Multiplicando pelo fator externo \dfrac{e^{-t}}{7} e lembrando o sinal negativo do segundo termo em w, obtemos a contribuição subtraída
\frac{1}{7}\left(\frac{\sin(6t)-6\cos(6t)+6e^{-t}}{37}\right) =\frac{1}{259}\sin(6t)-\frac{6}{259}\cos(6t)+\frac{6}{259}e^{-t},
mas com sinal negativo (pela subtração), de modo que a segunda parcela contribui
-\frac{1}{37\cdot7}\sin(6t)+\frac{6}{37\cdot7}\cos(6t)-\frac{6}{37\cdot7}e^{-t} =-\frac{1}{259}\sin(6t)+\frac{6}{259}\cos(6t)-\frac{6}{259}e^{-t}.
Agora subtraímos a segunda contribuição da primeira (já organizada). Fazendo w(t)=\frac{1}{7}(\text{primeiro integral})-\frac{1}{7}(\text{segundo integral}) e simplificando os coeficientes obtemos, depois de juntar termos com o mesmo tipo de função, a forma explícita:
w(t)=\frac{75}{3164}e^{\tfrac{2}{5}t}-\frac{6}{259}e^{-t}-\frac{91}{16724}\sin(6t)-\frac{9}{16724}\cos(6t).
(Se quiser checar, esses números saem das operações fracionárias explícitas mostradas acima; verifiquei que ao somar as peças a solução satisfaz as condições iniciais.)

Passo 9

Somar a solução homogênea obtida no Passo 5 com a contribuição w(t) do Passo 8:
v(t)=v_{1}(t)+w(t) =\left(\frac{25}{7}e^{\tfrac{2}{5}t}-\frac{11}{7}e^{-t}\right) +\left(\frac{75}{3164}e^{\tfrac{2}{5}t}-\frac{6}{259}e^{-t}-\frac{91}{16724}\sin(6t)-\frac{9}{16724}\cos(6t)\right).
Agrupando termos exponenciais:
\text{coeficiente de }e^{\tfrac{2}{5}t}:\; \frac{25}{7}+\frac{75}{3164}=\frac{11375}{3164},
\text{coeficiente de }e^{-t}:\; -\frac{11}{7}-\frac{6}{259}=-\frac{413}{259}.
E os termos trigonométricos já aparecem como:
-\frac{91}{16724}\sin(6t)-\frac{9}{16724}\cos(6t).
Portanto a solução final é:

Resposta

v(t)=\frac{11375}{3164}\,e^{\tfrac{2}{5}t}-\frac{413}{259}\,e^{-t}-\frac{91}{16724}\sin(6t)-\frac{9}{16724}\cos(6t).

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