Uma instalação industrial consome 120 kW com fator de potência 0,75 indutivo. Desejase corrigir o fator de potência para 0,95 . Qual a potência reativa aproximada do banco de capacitores necessário?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado):
  • Potência ativa: P=120\\ \text{kW}.
  • Fator de potência inicial: \text{pf}_1=0{,}75 (indutivo).
  • Fator de potência desejado: \text{pf}_2=0{,}95.
    O enunciado pede: a potência reativa aproximada do banco de capacitores necessária para corrigir o fator de potência de 0{,}75 para 0{,}95.

Passo 2

Conceitos fundamentais (aula rápida e amigável):
  • Em sistemas de corrente alternada trabalhamos com potência aparente S, potência ativa P e potência reativa Q. Em notação complexa:
S = P + jQ,
e o módulo é |S|=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}.
  • O fator de potência é \cos\varphi=\dfrac{P}{|S|}, onde \varphi é o ângulo de defasagem entre tensão e corrente.
  • Uma fórmula prática muito usada: a potência reativa associada a uma potência ativa P e ângulo \varphi é
Q = P\tan\varphi.
  • Como o enunciado fornece o fator de potência \cos\varphi, é útil obter \tan\varphi a partir de \cos\varphi. Usando \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^{2}\varphi} (ângulo agudo porque \cos\varphi>0), tem-se
\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}}{\cos\varphi}.
  • Para correção do fator de potência por capacitores: o banco deve fornecer a redução da potência reativa indutiva, ou seja
Q_{c}=Q_{\text{inicial}}-Q_{\text{final}},
onde Q_{c} é a potência reativa fornecida pelos capacitores (valor positivo quando os capacitores fornecem potência reativa capacitiva que compensa a reativa indutiva).

Passo 3

Calcular a potência reativa inicial Q_{\text{inicial}}.
  • Primeiro obtenho \tan\varphi_{1} a partir de \cos\varphi_{1}=\text{pf}_{1}=0{,}75:
\tan\varphi_{1}=\frac{\sqrt{1-(0{,}75)^{2}}}{0{,}75}=\frac{\sqrt{1-0{,}5625}}{0{,}75}=\frac{\sqrt{0{,}4375}}{0{,}75}.
  • Posso simplificar \sqrt{0{,}4375}=\sqrt{\tfrac{7}{16}}=\tfrac{\sqrt{7}}{4}, mas vou ao valor numérico:
\sqrt{0{,}4375}\approx0{,}661438\quad\Rightarrow\quad \tan\varphi_{1}\approx\frac{0{,}661438}{0{,}75}\approx0{,}881917.
  • Agora Q_{\text{inicial}}=P\tan\varphi_{1}:
Q_{\text{inicial}}=120\\ \text{kW}\times0{,}881917\approx105{,}83\\ \text{kVAr}.

Passo 4

Calcular a potência reativa final Q_{\text{final}} correspondente a \text{pf}_{2}=0{,}95.
  • Obtenho \tan\varphi_{2} a partir de \cos\varphi_{2}=0{,}95:
\tan\varphi_{2}=\frac{\sqrt{1-(0{,}95)^{2}}}{0{,}95}=\frac{\sqrt{1-0{,}9025}}{0{,}95}=\frac{\sqrt{0{,}0975}}{0{,}95}.
  • Valor numérico:
\sqrt{0{,}0975}\approx0{,}312250\quad\Rightarrow\quad \tan\varphi_{2}\approx\frac{0{,}312250}{0{,}95}\approx0{,}328684.
  • Agora Q_{\text{final}}=P\tan\varphi_{2}:
Q_{\text{final}}=120\\ \text{kW}\times0{,}328684\approx39{,}44\\ \text{kVAr}.

Passo 5

Calcular a potência reativa do banco de capacitores Q_{c}.
Q_{c}=Q_{\text{inicial}}-Q_{\text{final}}\approx105{,}83\\ \text{kVAr}-39{,}44\\ \text{kVAr}=66{,}39\\ \text{kVAr}.
Interpretação rápida: os capacitores devem fornecer cerca de 66{,}4\\ \text{kVAr} de reativa capacitiva para reduzir a reativa indutiva de 105{,}8\\ \text{kVAr} para 39{,}4\\ \text{kVAr}, atingindo o fator de potência 0{,}95.

Passo 6

Observações práticas (curtas e úteis):
  • Em projeto real costuma-se escolher um banco com potência reativa comercial padronizada ligeiramente acima do valor calculado (por exemplo 67 ou 70\\ \text{kVAr}) e incluir seccionamento/estágios para ajustar exatamente ao trabalho.
  • Também vale conferir tensões e correntes nominais antes da compra, mas para a questão de prova o valor calculado é o que importa.

Resposta

66{,}4\\ \text{kVAr}

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