No instante t=0, a temperatura foi bruscamente alterada, de forma que podemos considerar
u(x, 0)=500 de<a(x)
Use transformadas de Fourier para obter a solução para v=1 m / s.

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor unidimensional
partial upartial t = v,partial^2 upartial x^2
com coeficiente de difusão v=1 e condição inicial
u(x,0)=500,de<a(x)
Vamos aplicar a transformada de Fourier em x para resolver.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier
widehat u(k,t)=integral-infty^inftyu(x,t),e^-ikx,dx
Aplicando ao PDE obtemos
partialpartial twidehat u(k,t) =integral-infty^inftypartial upartial te^-ikx,dx =vintegral-infty^inftypartial^2 upartial x^2e^-ikx,dx =-v,k^2,widehat u(k,t)
A condição inicial vira
widehat u(k,0)=integral-infty^infty500,de<a(x),e^-ikx,dx=500

Passo 3

Temos uma EDO em t:
dwidehat udt=-v,k^2,widehat u, widehat u(k,0)=500
Solução:
widehat u(k,t)=500,e^-v,k^2,t

Passo 4

Voltando à variável x pela transformada inversa
u(x,t) =12piintegral-infty^inftywidehat u(k,t),e^ikx,dk =5002piintegral-infty^inftye^-v,k^2,t,e^ikx,dk
Esse integral gaussiano vale
integral-infty^inftye^-v,k^2,t+ikx,dk =raizpiv,t, exp!l(-x^24,v,tr)
Logo
u(x,t) =5002pi,raizpiv,t, exp!l(-x^24,v,tr) =5002raizpi,v,t exp!l(-x^24,v,tr)

Passo 5

Para v=1 concluímos
u(x,t) =5002raizpi,t exp!l(-x^24,tr)

Resposta

u(x,t) =5002raizpi,t exp!l(-x^24,tr)

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