Resolva a equação da onda dada por
usando
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação da onda juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com a Equação da Onda, que descreve como ondas se propagam em um meio. Para resolver essa equação, vamos usar a técnica de Transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para transformar equações diferenciais em algo mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em relação à variável
em toda a equação. A transformada de Fourier de uma função
é definida por:
Quando aplicamos a transformada de Fourier na equação da onda, as derivadas em relação a
se transformam em multiplicações por
. A equação transformada fica:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) em termos de
:
Essa é uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem com soluções oscilatórias. A solução geral para essa EDO é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais transformadas. As condições iniciais dadas são:
Substituindo
na solução geral:
Derivando
em relação ao tempo e avaliando em
:
Passo 5
Com
e
determinados, a solução no domínio da frequência fica:
Agora, para encontrar a solução no domínio do espaço e do tempo
, aplicamos a Transformada de Fourier Inversa:
Resposta
A solução da equação da onda é dada por:
Onde
e
.