Resolva a equação da onda dada por
l 1c^2 partial^2 ypartial t^2=partial^2 ypartial x^2, -infty<x<infty, t>0 y(x, 0)=f(x) partial ypartial t(x, 0)=g(x)
usando
l Y(k, t)=Fy(x, t) Y(k, 0)=Ff(x) dYdt(k, 0)=Fg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da onda juntos! A equação que temos é:
1c^2 partial^2 ypartial t^2 = partial^2 ypartial x^2
Aqui, estamos lidando com a Equação da Onda, que descreve como ondas se propagam em um meio. Para resolver essa equação, vamos usar a técnica de Transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para transformar equações diferenciais em algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em relação à variável x em toda a equação. A transformada de Fourier de uma função y(x, t) é definida por:
Y(k, t) = F y(x, t) = integral-infty^infty y(x, t) e^-ikx dx
Quando aplicamos a transformada de Fourier na equação da onda, as derivadas em relação a x se transformam em multiplicações por -k^2 . A equação transformada fica:
1c^2 partial^2 Y(k, t)partial t^2 = -k^2 Y(k, t)

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) em termos de Y(k, t) :
partial^2 Ypartial t^2 + c^2 k^2 Y = 0
Essa é uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem com soluções oscilatórias. A solução geral para essa EDO é:
Y(k, t) = A(k) cos(c k t) + B(k) sin(c k t)
Aqui, A(k) e B(k) são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais transformadas. As condições iniciais dadas são:
Y(k, 0) = F f(x) = F(k)
partial Ypartial t(k, 0) = F g(x) = G(k)
Substituindo t = 0 na solução geral:
Y(k, 0) = A(k) cos(0) + B(k) sin(0) Rightarrow A(k) = F(k)
Derivando Y(k, t) em relação ao tempo e avaliando em t = 0 :
partial Ypartial t(k, 0) = -A(k) c k sin(0) + B(k) c k cos(0) Rightarrow B(k) = G(k)c k

Passo 5

Com A(k) e B(k) determinados, a solução no domínio da frequência fica:
Y(k, t) = F(k) cos(c k t) + G(k)c k sin(c k t)
Agora, para encontrar a solução no domínio do espaço e do tempo y(x, t) , aplicamos a Transformada de Fourier Inversa:
y(x, t) = F^-1 Y(k, t) = F^-1 F(k) cos(c k t) + G(k)c k sin(c k t)

Resposta

A solução da equação da onda é dada por:
y(x, t) = F^-1 F(k) cos(c k t) + G(k)c k sin(c k t)
Onde F(k) = F f(x) e G(k) = F g(x) .

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