Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
Mostre que o módulo de um vetor é
Mostre que o módulo de um vetor é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o módulo (ou comprimento) de um vetor
pode ser escrito como
Informações dadas (implícitas pelo enunciado): o vetor
tem componentes cartesianas
,
e
ao longo de três eixos mutuamente perpendiculares (um sistema de coordenadas ortonormal). O objetivo é deduzir a fórmula do módulo a partir dessas componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever o vetor por componentes. Ao colocar um vetor no sistema cartesiano ortonormal, ele é identificado com o ponto cujas coordenadas são as componentes. Assim podemos representar
o que significa geometricalmente que
é o deslocamento do ponto origem
até o ponto
. O comprimento do vetor
é, então, a distância no espaço entre
e
.
Passo 3
Vamos reduzir o problema a duas aplicações do teorema de Pitágoras. Primeiro, considere a projeção do ponto
no plano
; isso dá o ponto
. O vetor correspondente à projeção é
Na geometria do plano
, a distância do origem até
(que é o módulo de
) é dada pelo teorema de Pitágoras em duas dimensões:
Explicando o teorema de Pitágoras (rápido e prático): se num triângulo retângulo os catetos têm comprimentos
e
, a hipotenusa tem comprimento
. Aqui os catetos são
e
no triângulo formado pelas projeções sobre os eixos.
Passo 4
Agora olhe para o triângulo retângulo tridimensional formado por
,
e
. O segmento
tem comprimento
e o segmento
é paralelo ao eixo
e tem comprimento
. Esses dois segmentos são perpendiculares, e
(que é
) é a hipotenusa desse triângulo retângulo. Aplicando novamente Pitágoras:
Substituindo o resultado do Passo 3 para
obtemos
Observação sobre sinais: usamos
, então o sinal de
não importa — o quadrado elimina o sinal, como esperado para um comprimento.
Passo 5
Para reforçar a compreensão, apresento uma derivação alternativa rápida usando produto interno (se já tiver visto isso, é útil; se não, não é obrigatório para a prova):
- Definição (em base ortonormal): para dois vetores
e define-se
- Propriedade importante:
, pois o ângulo entre e ele mesmo é e . - Calculando
pela definição dá
Igualando as duas expressões para
resulta
e portanto
Essa via é compacta e muito usada em álgebra vetorial.
Passo 6
Exemplo numérico para fixar a ideia (bem prático): se
então
Isto mostra como aplicar a fórmula facilmente na prova: só elevar ao quadrado cada componente, somar e tirar raiz.