Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
Mostre que o módulo de um vetor é
|\vec{A}|=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o módulo (ou comprimento) de um vetor \vec{A} pode ser escrito como
|\vec{A}|=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}.
Informações dadas (implícitas pelo enunciado): o vetor \vec{A} tem componentes cartesianas A_{x}, A_{y} e A_{z} ao longo de três eixos mutuamente perpendiculares (um sistema de coordenadas ortonormal). O objetivo é deduzir a fórmula do módulo a partir dessas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever o vetor por componentes. Ao colocar um vetor no sistema cartesiano ortonormal, ele é identificado com o ponto cujas coordenadas são as componentes. Assim podemos representar
\vec{A} = (A_{x},A_{y},A_{z}),
o que significa geometricalmente que \vec{A} é o deslocamento do ponto origem O=(0,0,0) até o ponto P=(A_{x},A_{y},A_{z}). O comprimento do vetor \vec{A} é, então, a distância no espaço entre O e P.

Passo 3

Vamos reduzir o problema a duas aplicações do teorema de Pitágoras. Primeiro, considere a projeção do ponto P no plano xy; isso dá o ponto P_{xy}=(A_{x},A_{y},0). O vetor correspondente à projeção é
\vec{A}_{xy}=(A_{x},A_{y},0).
Na geometria do plano xy, a distância do origem até P_{xy} (que é o módulo de \vec{A}_{xy}) é dada pelo teorema de Pitágoras em duas dimensões:
|\vec{A}_{xy}|=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}.
Explicando o teorema de Pitágoras (rápido e prático): se num triângulo retângulo os catetos têm comprimentos a e b, a hipotenusa tem comprimento \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aqui os catetos são A_{x} e A_{y} no triângulo formado pelas projeções sobre os eixos.

Passo 4

Agora olhe para o triângulo retângulo tridimensional formado por O, P_{xy} e P. O segmento OP_{xy} tem comprimento |\vec{A}_{xy}| e o segmento P_{xy}P é paralelo ao eixo z e tem comprimento |A_{z}|. Esses dois segmentos são perpendiculares, e OP (que é |\vec{A}|) é a hipotenusa desse triângulo retângulo. Aplicando novamente Pitágoras:
|\vec{A}|=\sqrt{|\vec{A}_{xy}|^{2}+A_{z}^{2}}.
Substituindo o resultado do Passo 3 para |\vec{A}_{xy}| obtemos
|\vec{A}|=\sqrt{\bigl(\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}\bigr)^{2}+A_{z}^{2}} =\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}.
Observação sobre sinais: usamos A_{z}^{2}, então o sinal de A_{z} não importa — o quadrado elimina o sinal, como esperado para um comprimento.

Passo 5

Para reforçar a compreensão, apresento uma derivação alternativa rápida usando produto interno (se já tiver visto isso, é útil; se não, não é obrigatório para a prova):
  • Definição (em base ortonormal): para dois vetores \vec{A}=(A_{x},A_{y},A_{z}) e \vec{B}=(B_{x},B_{y},B_{z}) define-se
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}.
  • Propriedade importante: \vec{A}\cdot\vec{A}=|\vec{A}|\,|\vec{A}|\cos 0 = |\vec{A}|^{2}, pois o ângulo entre \vec{A} e ele mesmo é 0 e \cos 0=1.
  • Calculando \vec{A}\cdot\vec{A} pela definição dá
\vec{A}\cdot\vec{A}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}.
Igualando as duas expressões para \vec{A}\cdot\vec{A} resulta
|\vec{A}|^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2},
e portanto
|\vec{A}|=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}.
Essa via é compacta e muito usada em álgebra vetorial.

Passo 6

Exemplo numérico para fixar a ideia (bem prático): se \vec{A}=(3,4,12) então
|\vec{A}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+12^{2}}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13.
Isto mostra como aplicar a fórmula facilmente na prova: só elevar ao quadrado cada componente, somar e tirar raiz.

Resposta

|\vec{A}|=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}

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