Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS
Calcule
(1,2,3) \cdot(4,-1,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar (ou ponto) entre dois vetores em \mathbb{R}^3. Os dados fornecidos são os vetores:
\mathbf{a}=(1,2,3),\qquad \mathbf{b}=(4,-1,2).
A pergunta é: qual é o valor de \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}?

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (sem mistério): para dois vetores em \mathbb{R}^3,
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
o produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui cada u_i e v_i é a componente do respectivo vetor na direção i-ésima; o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes. É um conceito básico: pega componente a componente, multiplica e soma tudo.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores dados, para aplicar a fórmula:
u_1=1,\quad u_2=2,\quad u_3=3,
v_1=4,\quad v_2=-1,\quad v_3=2,
onde \mathbf{u}=\mathbf{a} e \mathbf{v}=\mathbf{b}.

Passo 4

Calcular os produtos componente a componente:
u_1v_1 = 1\cdot4 = 4,
u_2v_2 = 2\cdot(-1) = -2,
u_3v_3 = 3\cdot2 = 6.

Passo 5

Somar os resultados parciais para obter o produto escalar:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=4+(-2)+6.
Fazendo as contas em passos menores:
4+(-2)=2,\qquad 2+6=8.

Passo 6

Resultado final e breve comentário didático: o produto escalar é \;8. Um comentário útil para prova — geometricamente,
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores; aqui o valor 8 corresponde a essa combinação de módulos e cosseno. Outra propriedade prática: o produto escalar é comutativo, então \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}.

Resposta

\;8

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