Instruções:
  • Todas as respostas devem ser devidamente justificadas para serem aceitas;
  • É permitido o uso de calculadora;
  • É permitido o uso de formulário, desde que seja feito pelo próprio aluno.
Dados: |e|=1,60 \cdot 10^{-19} \mathrm{C}, \quad m_{P}=1,67 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}, \quad m_{e}=9,11 \cdot 10^{-31} \mathrm{~kg}, |g|=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, V_{\text {esfera }}=\frac{4}{3} \pi R^{3}, A_{\text {esfera }}=4 \pi R^{2}.
  1. (2,0) Uma carga +Q se encontra na origem, separada por uma distância d de uma carga +4 Q, que se encontra sobre \varrho eixo x. Onde deve ser colocada uma terceira carga q, e com que módulo e sinal de modo que as três cargas estarão em equilíbrio?

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais fixas sobre o eixo x:
  • Uma carga +Q em x=0.
  • Uma carga +4Q em x=d.
Pede-se: onde colocar uma terceira carga q (posição sobre o eixo x), e qual o seu módulo e sinal, de modo que as três cargas fiquem em equilíbrio eletrostático (isto é, a soma das forças elétricas sobre cada carga deve ser nula).
Informações relevantes fornecidas:
  • Distâncias conhecidas entre as cargas: d entre +Q e +4Q.
  • A terceira carga q pode ser colocada em qualquer ponto do eixo x; sua posição será chamada de x (coordenada medida desde a origem).
  • Equilíbrio significa que o vetor força resultante sobre cada carga é nulo.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, sem pular etapas).
  • Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntiformes): para cargas q_1 e q_2 separadas por distância r,
F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde k é a constante eletrostática. Aqui só precisamos das razões entre forças, então k pode ser cancelado depois.
  • Direção: cargas de mesmo sinal se repelem; de sinais opostos se atraem. Em uma situação unidimensional (eixo x), tratamos forças como positivas para a direita e negativas para a esquerda.
  • Equilíbrio para cada carga: soma vetorial das forças que atuam sobre ela deve ser zero.
Estratégia prática (motivo e simplicidade): por simetria e para conseguir anular forças com dois graus de liberdade (posição x e valor q), é natural supor que a terceira carga fique sobre o mesmo eixo x. Vamos buscar uma posição x na reta que satisfaça equilíbrio nas outras duas cargas; se isso for possível, verificamos também equilíbrio sobre q. Não vamos assumir nada sobre o sinal de q sem checar as direções das forças.

Passo 3

Escolher região plausível para colocar q (razões físicas e direção das forças).
  • A força sobre +Q gerada por +4Q (em x=d) é de repulsão, ou seja, aponta para a esquerda (no sentido negativo) com módulo
F_{Q\leftarrow4Q}=k\frac{Q\cdot 4Q}{d^2}=k\frac{4Q^2}{d^2}.
Para cancelar essa força, a contribuição da carga q sobre +Q deve ter mesma magnitude e direção oposta (ou seja, apontar para a direita). Portanto, a força da carga q sobre +Q precisa ser para a direita.
  • Para que a força de q sobre +Q aponte para a direita, q deve atrair +Q (força para a direita) ou empurrá-lo para a direita. Isso ocorre se:
    • q for negativa e estiver à direita de +Q (atrai +Q para a direita), ou
    • q for positiva e estiver à esquerda de +Q (repulsão para a direita).
      A segunda opção (posição à esquerda de +Q) colocaria q em x<0; mas então para equilibrar +4Q em x=d seria difícil porque as direções necessárias para cancelar em +4Q seriam conflitantes. A opção mais promissora, intuitivamente, é colocar q entre as duas cargas (ou seja 0<x<d) e com sinal negativo, pois então:
      • q atrai +Q para a direita (pode cancelar a força da +4Q que puxa para a esquerda).
      • q também atrai +4Q para a esquerda (poderá cancelar a repulsão proveniente de +Q que puxa +4Q para a direita).
        Assim testamos a hipótese: colocar q com 0<x<d e q<0.

Passo 4

Escrever as equações de equilíbrio para as duas cargas conhecidas, assumindo 0<x<d e q<0.
  • Força sobre +Q (em x=0):
    • Devido a +4Q (em x=d): magnitude k\frac{4Q^2}{d^2}, direção para a esquerda.
    • Devida a q (em x): como q<0 e x>0, q atrai +Q para a direita com magnitude k\frac{Q\cdot |q|}{x^2}.
      Equilíbrio (somas de magnitudes, força para a direita = força para a esquerda):
    k\frac{Q\cdot |q|}{x^2}=k\frac{4Q^2}{d^2}.Simplificando (cancelando k e Q quando possível): \frac{|q|}{x^2}=\frac{4Q}{d^2}. \tag{1}
  • Força sobre +4Q (em x=d):
    • Devido a +Q (em x=0): magnitude k\frac{4Q^2}{d^2}, direção para a direita (repulsão do +Q).
    • Devido a q (em x): como q<0 e x<d, q atrai +4Q para a esquerda com magnitude k\frac{4Q\cdot |q|}{(d-x)^2}.
      Equilíbrio:
    k\frac{4Q\cdot |q|}{(d-x)^2}=k\frac{4Q^2}{d^2}.Simplificando (cancelando k e 4Q): \frac{|q|}{(d-x)^2}=\frac{Q}{d^2}. \tag{2}

Passo 5

Resolver as equações (1) e (2) para x e |q|.
Igualando as duas expressões para |q| dadas por (1) e (2):
|q| = \frac{4Q x^2}{d^2},\qquad |q| = \frac{Q (d-x)^2}{d^2}.
Portanto
\frac{4Q x^2}{d^2}=\frac{Q (d-x)^2}{d^2}.
Cancelar Q/d^2 (assumindo Q\neq0):
4x^2=(d-x)^2.
Desenvolvendo:
4x^2 = d^2 - 2dx + x^2 \quad\Rightarrow\quad 3x^2 + 2dx - d^2 = 0.
Mas é mais simples tomar raiz (pois ambos lados são quadrados):
2x = \pm (d-x).
  • Se 2x = d - x então 3x = d e
x=\frac{d}{3}.
  • Se 2x = - (d-x) então 2x = -d + x e x = -d (descartado porque não está na hipótese 0<x<d).
Assim a posição válida é
x=\frac{d}{3}.
Agora obter |q| usando (1) ou (2). Usando (2):
|q|=\frac{Q (d-x)^2}{d^2}=Q\left(\frac{d-\tfrac{d}{3}}{d}\right)^2 =Q\left(\frac{2}{3}\right)^2=Q\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{9}Q.

Passo 6

Determinar o sinal de q e verificar equilíbrio sobre q (consistência).
  • Já assumimos q<0 para montar as equações; o resultado acima deu |q|=\tfrac{4}{9}Q, portanto
q=-\frac{4}{9}Q.
  • Verificação rápida do equilíbrio sobre q em x=\tfrac{d}{3}:
    • Força de +Q (em 0) sobre q: atrativa, para a esquerda, módulo
    F_{q\leftarrow Q}=k\frac{Q\cdot|q|}{x^2}=k\frac{Q\cdot\frac{4}{9}Q}{(d/3)^2} =k\frac{4Q^2/9}{d^2/9}=k\frac{4Q^2}{d^2}.
    • Força de +4Q (em d) sobre q: atrativa, para a direita, módulo
    F_{q\leftarrow4Q}=k\frac{4Q\cdot|q|}{(d-x)^2} =k\frac{4Q\cdot\frac{4}{9}Q}{(2d/3)^2} =k\frac{16Q^2/9}{4d^2/9}=k\frac{4Q^2}{d^2}.As duas forças têm mesma magnitude e sentidos opostos, logo somam zero. Portanto q está também em equilíbrio.

Passo 7

Interpretação física curta e motivadora: a terceira carga deve ser negativa (menor em módulo que Q) e colocada entre as duas cargas positivas, mais próxima da menor carga +Q. Isso faz sentido: a carga negativa atrai as cargas positivas em sentidos opostos, podendo equilibrar as repulsões entre as duas positivas.

Resposta

x=\dfrac{d}{3} (sobre o eixo x, medido a partir da origem)
q=-\dfrac{4}{9}\,Q

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