(2,0) Uma carga +Q se encontra na origem, separada por uma distância d de uma carga +4 Q, que se encontra sobre \varrho eixo x. Onde deve ser colocada uma terceira carga q, e com que módulo e sinal de modo que as três cargas estarão em equilíbrio?
Passo 1
O enunciado dá duas cargas pontuais fixas sobre o eixo x:
Uma carga +Q em x=0.
Uma carga +4Q em x=d.
Pede-se: onde colocar uma terceira carga q (posição sobre o eixo x), e qual o seu módulo e sinal, de modo que as três cargas fiquem em equilíbrio eletrostático (isto é, a soma das forças elétricas sobre cada carga deve ser nula).
Informações relevantes fornecidas:
Distâncias conhecidas entre as cargas: d entre +Q e +4Q.
A terceira carga q pode ser colocada em qualquer ponto do eixo x; sua posição será chamada de x (coordenada medida desde a origem).
Equilíbrio significa que o vetor força resultante sobre cada carga é nulo.
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, sem pular etapas).
Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntiformes): para cargas q_1 e q_2 separadas por distância r,
F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde k é a constante eletrostática. Aqui só precisamos das razões entre forças, então k pode ser cancelado depois.
Direção: cargas de mesmo sinal se repelem; de sinais opostos se atraem. Em uma situação unidimensional (eixo x), tratamos forças como positivas para a direita e negativas para a esquerda.
Equilíbrio para cada carga: soma vetorial das forças que atuam sobre ela deve ser zero.
Estratégia prática (motivo e simplicidade): por simetria e para conseguir anular forças com dois graus de liberdade (posição x e valor q), é natural supor que a terceira carga fique sobre o mesmo eixo x. Vamos buscar uma posição x na reta que satisfaça equilíbrio nas outras duas cargas; se isso for possível, verificamos também equilíbrio sobre q. Não vamos assumir nada sobre o sinal de q sem checar as direções das forças.
Passo 3
Escolher região plausível para colocar q (razões físicas e direção das forças).
A força sobre +Q gerada por +4Q (em x=d) é de repulsão, ou seja, aponta para a esquerda (no sentido negativo) com módulo
Para cancelar essa força, a contribuição da carga q sobre +Q deve ter mesma magnitude e direção oposta (ou seja, apontar para a direita). Portanto, a força da carga q sobre +Q precisa ser para a direita.
Para que a força de q sobre +Q aponte para a direita, q deve atrair +Q (força para a direita) ou empurrá-lo para a direita. Isso ocorre se:
q for negativa e estiver à direita de +Q (atrai +Q para a direita), ou
q for positiva e estiver à esquerda de +Q (repulsão para a direita).
A segunda opção (posição à esquerda de +Q) colocaria q em x<0; mas então para equilibrar +4Q em x=d seria difícil porque as direções necessárias para cancelar em +4Q seriam conflitantes. A opção mais promissora, intuitivamente, é colocar q entre as duas cargas (ou seja 0<x<d) e com sinal negativo, pois então:
q atrai +Q para a direita (pode cancelar a força da +4Q que puxa para a esquerda).
q também atrai +4Q para a esquerda (poderá cancelar a repulsão proveniente de +Q que puxa +4Q para a direita).
Assim testamos a hipótese: colocar q com 0<x<d e q<0.
Passo 4
Escrever as equações de equilíbrio para as duas cargas conhecidas, assumindo 0<x<d e q<0.
Força sobre +Q (em x=0):
Devido a +4Q (em x=d): magnitude k\frac{4Q^2}{d^2}, direção para a esquerda.
Devida a q (em x): como q<0 e x>0, q atrai +Q para a direita com magnitude k\frac{Q\cdot |q|}{x^2}.
Equilíbrio (somas de magnitudes, força para a direita = força para a esquerda):
k\frac{Q\cdot |q|}{x^2}=k\frac{4Q^2}{d^2}.Simplificando (cancelando k e Q quando possível):\frac{|q|}{x^2}=\frac{4Q}{d^2}. \tag{1}
Força sobre +4Q (em x=d):
Devido a +Q (em x=0): magnitude k\frac{4Q^2}{d^2}, direção para a direita (repulsão do +Q).
Devido a q (em x): como q<0 e x<d, q atrai +4Q para a esquerda com magnitude k\frac{4Q\cdot |q|}{(d-x)^2}.
Equilíbrio:
k\frac{4Q\cdot |q|}{(d-x)^2}=k\frac{4Q^2}{d^2}.Simplificando (cancelando k e 4Q):\frac{|q|}{(d-x)^2}=\frac{Q}{d^2}. \tag{2}
Passo 5
Resolver as equações (1) e (2) para x e |q|.
Igualando as duas expressões para |q| dadas por (1) e (2):
Força de +4Q (em d) sobre q: atrativa, para a direita, módulo
F_{q\leftarrow4Q}=k\frac{4Q\cdot|q|}{(d-x)^2} =k\frac{4Q\cdot\frac{4}{9}Q}{(2d/3)^2} =k\frac{16Q^2/9}{4d^2/9}=k\frac{4Q^2}{d^2}.As duas forças têm mesma magnitude e sentidos opostos, logo somam zero. Portanto q está também em equilíbrio.
Passo 7
Interpretação física curta e motivadora: a terceira carga deve ser negativa (menor em módulo que Q) e colocada entre as duas cargas positivas, mais próxima da menor carga +Q. Isso faz sentido: a carga negativa atrai as cargas positivas em sentidos opostos, podendo equilibrar as repulsões entre as duas positivas.
Resposta
x=\dfrac{d}{3} (sobre o eixo x, medido a partir da origem) q=-\dfrac{4}{9}\,Q