Instruções:
  • Todas as respostas devem ser devidamente justificadas para serem aceitas;
  • É permitido o uso de calculadora;
  • É permitido o uso de formulário, desde que seja feito pelo próprio aluno.
Dados: |e|=1,60 \cdot 10^{-19} \mathrm{C}, \quad m_{P}=1,67 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}, \quad m_{e}=9,11 \cdot 10^{-31} \mathrm{~kg}, |g|=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, V_{\text {esfera }}=\frac{4}{3} \pi R^{3}, A_{\text {esfera }}=4 \pi R^{2}.
  1. (2,0) Um próton e um elétron, separados por 2,0 \times 10^{-10} \mathrm{~m} (uma distância atômica comum), são liberados. Encontre a aceleração inicial de cada partícula.

Passo 1

O enunciado nos dá (valores que serão usados na resolução):
  • Carga elementar: |e| = 1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Massa do próton: m_{P}=1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do elétron: m_{e}=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Separação inicial entre próton e elétron: r=2{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade terrestre (fornecida para comparação): |g|=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que o problema pede:
  • Encontrar a aceleração inicial de cada partícula (próton e elétron) quando são liberados a essa separação.

Passo 2

Que força causa a aceleração inicial?
Quando duas cargas puntiformes q_1 e q_2 estão separadas por r, a força elétrica entre elas (lei de Coulomb) tem módulo dado por:
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^{2}},
onde:
  • F é o módulo da força elétrica (em newtons, N);
  • k é a constante eletrostática no vácuo, k \approx 8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}};
  • |q_1 q_2| é o produto dos módulos das cargas (em coulombs ao quadrado);
  • r é a distância entre as cargas (em metros).
Neste problema q_1=+e (próton) e q_2=-e (elétron), então |q_1 q_2|=e^{2}. A força é atrativa (sinal oposto das cargas), e cada partícula sente a mesma força de módulo F em direções opostas. A aceleração de cada partícula segue a segunda lei de Newton:
a = \frac{F}{m},
onde m é a massa da partícula considerada. Portanto calcularemos primeiro F pela lei de Coulomb e depois a_{P}=F/m_{P} e a_{e}=F/m_{e}.

Passo 3

Calcular numericamente o módulo da força elétrica F.
Primeiro calcule e^{2} e r^{2}:
e^{2}=(1{,}60\times10^{-19})^{2}=2{,}56\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}},
r^{2}=(2{,}0\times10^{-10})^{2}=4{,}00\times10^{-20}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora aplique Coulomb:
F = k\,\frac{e^{2}}{r^{2}} = (8{,}988\times10^{9})\cdot\frac{2{,}56\times10^{-38}}{4{,}00\times10^{-20}}.
Calcule a fração:
\frac{2{,}56\times10^{-38}}{4{,}00\times10^{-20}} = 0{,}64\times10^{-18}=6{,}4\times10^{-19}.
Logo
F = 8{,}988\times10^{9}\times6{,}4\times10^{-19} =5{,}75\times10^{-9}\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular as acelerações a partir de a=F/m.
Para o próton:
a_{P}=\frac{F}{m_{P}}=\frac{5{,}75\times10^{-9}}{1{,}67\times10^{-27}}
faça a divisão:
a_{P}\approx 3{,}45\times10^{18}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Para o elétron:
a_{e}=\frac{F}{m_{e}}=\frac{5{,}75\times10^{-9}}{9{,}11\times10^{-31}}
faça a divisão:
a_{e}\approx 6{,}31\times10^{21}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Mostro rapidamente a razão entre as acelerações para dar intuição: como a força é a mesma sobre as duas partículas,
\frac{a_{e}}{a_{P}}=\frac{m_{P}}{m_{e}}\approx\frac{1{,}67\times10^{-27}}{9{,}11\times10^{-31}}\approx1833\\ (\text{aprox.}),
isto é, o elétron acelera cerca de 1{,}8\times10^{3} vezes mais que o próton, devido à massa muito menor.

Passo 5

Direção das acelerações e comparação com g.
  • Direção: as acelerações são ao longo da linha que une as partículas, apontando uma para a outra (atração). Portanto a_{P} é dirigida em direção ao elétron e a_{e} em direção ao próton. Em módulo os valores são os calculados nos passos anteriores.
  • Comparação com g: mesmo o valor de a_{P} é imenso comparado a |g|=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\frac{a_{P}}{g}\approx\frac{3{,}45\times10^{18}}{9{,}81}\approx3{,}52\times10^{17},
ou seja, muito maior que a gravidade terrestre; para o elétron a razão é ainda maior:
\frac{a_{e}}{g}\approx\frac{6{,}31\times10^{21}}{9{,}81}\approx6{,}43\times10^{20}.
Isso justifica a prática comum de desprezar forças gravitacionais ou o efeito de peso quando se trata de forças elétricas entre cargas elementares a distâncias atômicas.

Resposta

Próton: a_{P}\approx3{,}45\times10^{18}\\ \mathrm{m/s^{2}} (direção: em direção ao elétron).
Elétron: a_{e}\approx6{,}31\times10^{21}\\ \mathrm{m/s^{2}} (direção: em direção ao próton).

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