Um instrumento eletrônico possui massa \mathrm{m}=3,4 \mathrm{~kg} e está apoiada em quatro coxins de elastômero com rigidez \mathrm{k}=5400 \mathrm{~N} / \mathrm{m} cada um . O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logarítmico, é \zeta=0,20. Se o instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar:
(a) A freqüência natural.
(b) Uma ferramenta pesando 0,5 \mathrm{~kg} cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibração de 1,7 \mathrm{~mm}. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • massa do instrumento: m=3,4\\ \mathrm{kg}.
  • quatro coxins, cada um com rigidez k=5400\\ \mathrm{N/m}.
  • fator de amortecimento (razão de amortecimento): \zeta=0,20.
  • uma ferramenta de massa m_t=0,5\\ \mathrm{kg} cai sobre o instrumento e, após o impacto, observa-se uma amplitude de vibração de 1{,}7\\ \mathrm{mm}.
Perguntas:
(a) Determinar a frequência natural do sistema (frequência própria).
(b) Determinar a velocidade inicial (velocidade imediatamente após o impacto aplicada ao sistema) que originou a amplitude de 1{,}7\\ \mathrm{mm}.
Observação: vou tratar o instrumento apoiado pelos quatro coxins como um oscilador de um grau de liberdade com massa m e rigidez equivalente K (soma das quatro rigidezes). Assumo que o impacto fornece um impulso rápido que gera uma velocidade inicial ao sistema (ou seja, tratamos o efeito do impacto como uma condição inicial x(0)=0,\\ v(0)=v_0).

Passo 2

Calcular a rigidez equivalente do sistema (soma das quatro molas idênticas).
Cada coxim tem rigidez k. Para quatro coxins em paralelo a rigidez equivalente é a soma:
K = 4k.
Substituindo os valores:
K = 4\cdot 5400 = 21600\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Fórmula da frequência natural e cálculo de \omega_n e f_n.
Para um sistema massa-mola sem amortecimento a pulsação natural (frequência angular natural) é dada por
\omega_n = \sqrt{\dfrac{K}{m}},
onde \omega_n tem unidades de \mathrm{rad/s}, K em \mathrm{N/m} e m em \mathrm{kg}.
Aplicando os números:
\omega_n = \sqrt{\dfrac{21600}{3,4}} = \sqrt{6352{,}941176\ldots}\approx 79{,}7\\ \mathrm{rad/s}.
A frequência natural em hertz é
f_n=\dfrac{\omega_n}{2\pi}.
Portanto
f_n \approx \dfrac{79{,}7}{2\pi}\approx 12{,}7\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Relação entre razão de amortecimento \zeta e pulsação amortecida \omega_d. Cálculo de \omega_d.
A pulsação amortecida é dada por
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2},
porque o sistema amortecido tem oscilações com frequência reduzida em relação à natural.
Com \zeta=0,20:
\sqrt{1-\zeta^2}=\sqrt{1-0{,}20^2}=\sqrt{1-0{,}04}=\sqrt{0{,}96}\approx 0{,}9798.
Logo
\omega_d \approx 79{,}7\cdot 0{,}9798 \approx 78{,}1\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Ligação entre velocidade inicial v_0 e amplitude observada A para condição inicial x(0)=0,\\ v(0)=v_0.
A solução da resposta livre amortecida, para condição x(0)=0 e v(0)=v_0, é
x(t)=\frac{v_0}{\omega_d}\,e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_d t).
O primeiro pico (amplitude inicial observada imediatamente no início da oscilação) tem amplitude máxima
A=\frac{v_0}{\omega_d}.
Rearranjando,
v_0 = \omega_d\,A.
Explicando em linguagem simples: se o sistema parte do repouso em posição neutra e recebe uma velocidade inicial, essa velocidade transforma-se em movimento oscilatório; a amplitude máxima inicial é proporcional à velocidade inicial e inversamente proporcional à frequência amortecida.

Passo 6

Aplicar a fórmula para obter v_0 usando a amplitude dada A=1{,}7\\ \mathrm{mm}=0{,}0017\\ \mathrm{m}.
Usando \omega_d\approx 78{,}1\\ \mathrm{rad/s}:
v_0 = \omega_d A \approx 78{,}1\cdot 0{,}0017 \approx 0{,}1328\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável:
v_0 \approx 0{,}133\\ \mathrm{m/s}.
Nota motivadora: deu trabalho, mas já estamos com os números. Essa velocidade é pequena — impacto rápido, mas sistema rígido — por isso a amplitude também é pequena.

Resposta

(a) \omega_n \approx 79{,}7\\ \mathrm{rad/s}, \;f_n \approx 12{,}7\\ \mathrm{Hz}
(b) v_0 \approx 0{,}133\\ \mathrm{m/s}

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