Um instrumento eletrônico possui massa
e está apoiada em quatro coxins de elastômero com rigidez
cada um . O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logarítmico, é
. Se o instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar:
(a) A freqüência natural.
(b) Uma ferramenta pesando
cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibração de
. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta.
(a) A freqüência natural.
(b) Uma ferramenta pesando
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- massa do instrumento:
. - quatro coxins, cada um com rigidez
. - fator de amortecimento (razão de amortecimento):
. - uma ferramenta de massa
cai sobre o instrumento e, após o impacto, observa-se uma amplitude de vibração de .
Perguntas:
(a) Determinar a frequência natural do sistema (frequência própria).
(b) Determinar a velocidade inicial (velocidade imediatamente após o impacto aplicada ao sistema) que originou a amplitude de .
(a) Determinar a frequência natural do sistema (frequência própria).
(b) Determinar a velocidade inicial (velocidade imediatamente após o impacto aplicada ao sistema) que originou a amplitude de
Observação: vou tratar o instrumento apoiado pelos quatro coxins como um oscilador de um grau de liberdade com massa
e rigidez equivalente
(soma das quatro rigidezes). Assumo que o impacto fornece um impulso rápido que gera uma velocidade inicial ao sistema (ou seja, tratamos o efeito do impacto como uma condição inicial
).
Passo 2
Calcular a rigidez equivalente do sistema (soma das quatro molas idênticas).
Cada coxim tem rigidez
. Para quatro coxins em paralelo a rigidez equivalente é a soma:
Substituindo os valores:
Passo 3
Fórmula da frequência natural e cálculo de
e
.
Para um sistema massa-mola sem amortecimento a pulsação natural (frequência angular natural) é dada por
onde
tem unidades de
,
em
e
em
.
Aplicando os números:
A frequência natural em hertz é
Portanto
Passo 4
Relação entre razão de amortecimento
e pulsação amortecida
. Cálculo de
.
A pulsação amortecida é dada por
porque o sistema amortecido tem oscilações com frequência reduzida em relação à natural.
Com
:
Logo
Passo 5
Ligação entre velocidade inicial
e amplitude observada
para condição inicial
.
A solução da resposta livre amortecida, para condição
e
, é
O primeiro pico (amplitude inicial observada imediatamente no início da oscilação) tem amplitude máxima
Rearranjando,
Explicando em linguagem simples: se o sistema parte do repouso em posição neutra e recebe uma velocidade inicial, essa velocidade transforma-se em movimento oscilatório; a amplitude máxima inicial é proporcional à velocidade inicial e inversamente proporcional à frequência amortecida.
Passo 6
Aplicar a fórmula para obter
usando a amplitude dada
.
Usando
:
Arredondando de forma razoável:
Nota motivadora: deu trabalho, mas já estamos com os números. Essa velocidade é pequena — impacto rápido, mas sistema rígido — por isso a amplitude também é pequena.
Resposta
(a)
,
(b)
(b)