Uma máquina possui massa
e frequência natural amortecida para vibração vertical
. Através da medição do decremento logarítmico achou-se um fator de amortecimento
. Se a máquina e sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar:
(a) A rigidez k do suporte elástico.
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de
na direção vertical, imposta por um impacto.
(a) A rigidez k do suporte elástico.
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara para não nos perder):
- Massa:
. - Frequência natural amortecida:
. - Fator de amortecimento (razão adimensional):
. - Impacto impõe uma velocidade inicial vertical de
.
O que o problema pede:
(a) Determinar a rigidez elásticado suporte.
(b) Determinar o movimento resultantepara a condição inicial indicada (pressupondo deslocamento inicial zero e velocidade inicial na direção vertical).
Passo 2
Relembrando as relações fundamentais para um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade (sistema linear, amortecimento viscoso):
- A frequência natural não amortecida é
. Aqui tem unidade , em e em . - A razão de amortecimento é
, onde é o coeficiente de amortecimento viscoso (não é pedido, mas usaremos a relação se for útil). - A frequência amortecida (a que oscila de fato quando há amortecimento subcrítico) relaciona-se com
por
Dessa última equação podemos obter
a partir de
e
:
Depois de
achamos a rigidez por
Estas são as fórmulas que vamos usar.
Passo 3
Calcular
a partir dos dados:
Portanto
Interpretação curta: a frequência natural sem amortecimento é ligeiramente maior que a frequência observada amortecida, porque o amortecimento reduz a frequência efetiva.
Passo 4
Calcular a rigidez
usando
:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 5
(Comentário útil para a prova) Se quiser o coeficiente de amortecimento
, a fórmula é
. Substituindo:
Isto não foi pedido explicitamente, mas é uma quantidade que às vezes aparece em enunciados parecidos.
Passo 6
Determinar o movimento
livre amortecido para condições iniciais. A solução geral (caso subamortecido,
) é
onde
e
são constantes fixadas pelas condições iniciais. Aqui
(já conhecida) e
é a taxa exponencial de amortecimento (a “envelope” decaindo).
Impondo as condições iniciais apropriadas para o impacto:
Impondo as condições iniciais apropriadas para o impacto:
- Deslocamento inicial:
(assumimos zero). - Velocidade inicial:
(dado).
Usandoobtemos . Tomando a derivada e avaliando em :
mas com
e em
simplifica muito:
Logo a solução específica para as condições do problema é
Passo 7
Substituir números para escrever
de forma numérica e interpretar:
- Já temos
. -
. -
. -
.
Calcule o fator:
Portanto a expressão final é
com
em segundos. Em unidades práticas, a amplitude inicial máxima é aproximadamente
(menor que 0{,}001 mm), ou
.
Comentário físico: a oscilação ocorre a (ou
se converter para Hz:
), e decai com constante de tempo
. Ou seja, a resposta decai muito rápido (alguns milissegundos).
Comentário físico: a oscilação ocorre a
Resposta
(a)
(b)