Uma máquina possui massa \mathrm{m}=250 \mathrm{~kg} e frequência natural amortecida para vibração vertical \omega \mathrm{d}=5140 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Através da medição do decremento logarítmico achou-se um fator de amortecimento \zeta=0,12. Se a máquina e sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar:
(a) A rigidez k do suporte elástico.
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 \mathrm{~mm} / \mathrm{s} na direção vertical, imposta por um impacto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara para não nos perder):
  • Massa: \,m=250\\ \mathrm{kg}.
  • Frequência natural amortecida: \,\omega_d = 5140\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fator de amortecimento (razão adimensional): \,\zeta = 0{,}12.
  • Impacto impõe uma velocidade inicial vertical de \,v_0 = 1\\ \mathrm{mm/s} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
    O que o problema pede:
    (a) Determinar a rigidez elástica \,k do suporte.
    (b) Determinar o movimento resultante x(t) para a condição inicial indicada (pressupondo deslocamento inicial zero e velocidade inicial v_0 na direção vertical).

Passo 2

Relembrando as relações fundamentais para um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade (sistema linear, amortecimento viscoso):
  • A frequência natural não amortecida é \,\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}. Aqui \omega_n tem unidade \mathrm{rad/s}, k em \mathrm{N/m} e m em \mathrm{kg}.
  • A razão de amortecimento é \zeta=\dfrac{c}{2 m \omega_n}, onde c é o coeficiente de amortecimento viscoso (não é pedido, mas usaremos a relação se for útil).
  • A frequência amortecida (a que oscila de fato quando há amortecimento subcrítico) relaciona-se com \omega_n por
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Dessa última equação podemos obter \omega_n a partir de \omega_d e \zeta:
\omega_n=\dfrac{\omega_d}{\sqrt{1-\zeta^2}}.
Depois de \omega_n achamos a rigidez por
k=m\,\omega_n^2.
Estas são as fórmulas que vamos usar.

Passo 3

Calcular \omega_n a partir dos dados:
\zeta^2=(0{,}12)^2=0{,}0144, \quad 1-\zeta^2=0{,}9856, \quad \sqrt{1-\zeta^2}=\sqrt{0{,}9856}\approx0{,}99277.
Portanto
\omega_n=\dfrac{\omega_d}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\dfrac{5140}{0{,}99277}\approx5177\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação curta: a frequência natural sem amortecimento é ligeiramente maior que a frequência observada amortecida, porque o amortecimento reduz a frequência efetiva.

Passo 4

Calcular a rigidez k usando k=m\omega_n^2:
\omega_n^2\approx(5177)^2\approx2{,}6794\times10^{7}\\ \mathrm{(rad/s)^2}.
k=m\,\omega_n^2=250\cdot 2{,}6794\times10^{7}\approx6{,}6985\times10^{9}\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
k\approx6{,}70\times10^{9}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

(Comentário útil para a prova) Se quiser o coeficiente de amortecimento c, a fórmula é c=2 m \omega_n \zeta. Substituindo:
c=2\cdot250\cdot5177\cdot0{,}12\approx3{,}106\times10^{5}\\ \mathrm{N\;s/m}.
Isto não foi pedido explicitamente, mas é uma quantidade que às vezes aparece em enunciados parecidos.

Passo 6

Determinar o movimento x(t) livre amortecido para condições iniciais. A solução geral (caso subamortecido, \zeta<1) é
x(t)=\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
onde A e B são constantes fixadas pelas condições iniciais. Aqui \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} (já conhecida) e \zeta\omega_n é a taxa exponencial de amortecimento (a “envelope” decaindo).
Impondo as condições iniciais apropriadas para o impacto:
  • Deslocamento inicial: x(0)=0 (assumimos zero).
  • Velocidade inicial: \dot x(0)=v_0 (dado).
    Usando x(0)=0 obtemos A=0. Tomando a derivada e avaliando em t=0:
\dot x(t)=\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n t}\bigl(B\omega_d\cos(\omega_d t)-B\zeta\omega_n\sin(\omega_d t)\bigr)-\zeta\omega_n\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n t}(A\cos+\dots),
mas com A=0 e em t=0 simplifica muito:
\dot x(0)=B\omega_d = v_0 \quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{v_0}{\omega_d}.
Logo a solução específica para as condições do problema é
x(t)=\mathrm{e}^{-\zeta\omega_n t}\left(\dfrac{v_0}{\omega_d}\right)\sin(\omega_d t).

Passo 7

Substituir números para escrever x(t) de forma numérica e interpretar:
  • Já temos \omega_d=5140\\ \mathrm{rad/s}.
  • \omega_n\approx5177\\ \mathrm{rad/s}.
  • \zeta\omega_n=0{,}12\times5177\approx621{,}2\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • v_0=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
    Calcule o fator v_0/\omega_d:
\dfrac{v_0}{\omega_d}=\dfrac{1{,}0\times10^{-3}}{5140}\approx1{,}9455\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Portanto a expressão final é
x(t)\approx 1{,}9455\times10^{-7}\,\mathrm{e}^{-621{,}2\,t}\sin(5140\,t)\quad\text{(metros)},
com t em segundos. Em unidades práticas, a amplitude inicial máxima é aproximadamente 1{,}95\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=0{,}195\\ \mu\mathrm{m} (menor que 0{,}001 mm), ou 1{,}9455\times10^{-4}\\ \mathrm{mm}.
Comentário físico: a oscilação ocorre a \approx5140\\ \mathrm{rad/s} (ou \approx818\\ \mathrm{Hz} se converter para Hz: \,f=\omega_d/(2\pi)), e decai com constante de tempo \tau=1/(\zeta\omega_n)\approx1/621{,}2\approx1{,}61\times10^{-3}\\ \mathrm{s}. Ou seja, a resposta decai muito rápido (alguns milissegundos).

Resposta

(a) k\approx6{,}70\times10^{9}\\ \mathrm{N/m}
(b) x(t)\approx 1{,}9455\times10^{-7}\,\mathrm{e}^{-621{,}2\,t}\sin(5140\,t)\\ \mathrm{m}

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