Um instrumento de primeira ordem é usado para medir sinal de frequência 100 Hz , com um erro de 5% na amplitude. Qual deve ser a cte de tempo deste instrumento ? Calcular e discutir o angulo de fase para 50 e 100 Hz .

Passo 1

Beleza, então o problema diz que temos um instrumento de primeira ordem (aquele que responde tipo filtro RC) medindo um sinal de 100 Hz e a gente aceita até 5 % de erro na amplitude. Precisamos descobrir qual deve ser a constante de tempo τ desse instrumento pra ter só 5 % de atenuação em 100 Hz. Depois, calcular o ângulo de fase (o “atraso” em graus) pra 50 Hz e pra 100 Hz.
Conteúdo: resposta em frequência de sistemas de primeira ordem – magnitude e fase de
H(jomega)=11+jomegatau
O que vamos usar:
  1. fórmula da magnitude:
  2. condição de erro de 5 % → magnitude = 0,95
  3. fórmula da fase:

Passo 2

Primeiro a gente impõe que a atenuação em 100 Hz seja de 5 %, ou seja:
1raiz1+(omegatau)^2 = 0,95,
com raiz1+(omegatau)^2=10,95, 1+(omegatau)^2=10,95^2,
Reorganizando:
(omegatau)^2=10,95^2-1, tau=raiz10,95^2-1omega

Passo 3

Agora é conta numérica.
10,95^2approx1,1083 ;;Rightarrow;; (omegatau)^2approx0,1083 ;;Rightarrow;; omegatauapproxraiz0,1083approx0,329
Como tau=0,329628,3approx5,24times10^-4;s=0,524;ms ,
phi(omega)=-arctan(omegatau)
Beleza, temos τ. Agora a fase para uma frequência qualquer é
phi(50)=-arctan(314,16cdot0,000524)approx -arctan(0,1646)approx -9,4^circ
Para 50 Hz: phi(100)=-arctan(628,3cdot0,000524)approx -arctan(0,329)approx -18,2^circ ,
Para 100 Hz: ,

Passo 4

O que isso significa? Quanto maior a frequência, maior é o “atraso” (fase negativa). Em 50 Hz já temos quase 10° de lag, em 100 Hz sobe pra uns 18°. Dependendo da aplicação, esses desvios de fase podem ser relevantes (por exemplo, em sistemas de controle rápido). Mas pra muitas medições de sinais até essas frequências, esse atraso ainda é considerado razoável.

Resposta

τ ≈ 0,524 ms
φ(50 Hz) ≈ –9,4°
φ(100 Hz) ≈ –18,2°

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