Um instrumento muito utilizado em navegação é o transdutor sonar náutico. Ele pode ser ativo, em caso de emissão acústica e retorno de um eco para captação de distanciamento de obstáculos. Pode ser passivo, em caso de recepção acústica para identificação da fonte de um som detectado. Para que esse instrumento possa ser operado corretamente em um ambiente marítimo, ele precisa ser testado em laboratórios quanto ao escoamento ao seu redor. Para adquirir semelhança dinâmica é necessário, inicialmente, obter os grupos adimensionais do fenômeno físico. Para tal, considere aceleração da gravidade =9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e faça os seguintes itens:
(a) Obtenha um conjunto de grupos adimensionais, utilizando o Teorema de pi de Buckingham, que possam ser usados para correlacionar dados experimentais de um escoamento sobre um transdutor sonar liso de formato esférico, lembrando que esse escoamento gera uma força de arrasto sobre o transdutor sonar;
(b) O arrasto deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento (viscosidade cinemática do ar =1,5 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ). O protótipo, uma esfera de 0,5 \mathrm{~m} de diâmetro, deve ser rebocado a 2,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na água do mar (viscosidade cinemática da água do mar =1,0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ). O modelo tem 150 mm de diâmetro. Determine a velocidade de teste requerida no ar;
(c) A força de arrasto sobre o modelo em teste é de 2,8 \mathrm{~N}, nesse caso, estime a força de arrasto no protótipo; Para esse cálculo, usar: (massa específica do ar =1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e massa específica do mar = 1040 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} );
(d) Pensando que no momento da instalação do sonar, deixa-se cair livremente o transdutor sonar esférico. Sabendo que, durante a queda livre no mar, o escoamento ocorre a um número de
Reynolds tão baixo quanto 0,8 e que, nesse momento, a sua velocidade é constante, estime a massa específica do transdutor sonar;
(e) Baseando-se no gráfico do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds, para esferas, diga qual a relação do coeficiente de arrasto com a esteira de vórtices no bordo de fuga;
(f) Como a rugosidade na superfície influenciaria nesse gráfico?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
(a) Obter um conjunto de grupos adimensionais (Teorema \pi de Buckingham) que possam correlacionar dados experimentais de escoamento sobre um transdutor sonar esférico liso, onde há força de arrasto.
(b) Para manter similaridade no túnel de vento, determinar a velocidade de teste no ar do modelo (dados: protótipo esfera de diâmetro D_p=0,5\\ \mathrm{m} rebocado em água a U_p=2,8\\ \mathrm{m/s}; kinematic viscosities: \nu_{\text{água}}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}á e \nu_{\text{ar}}=1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}).
(c) Sabendo que a força de arrasto medida no modelo em túnel de vento é F_m=2{,}8\\ \mathrm{N}, estimar a força de arrasto no protótipo (densidades: \rho_{\text{ar}}=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^3}, \rho_{\text{mar}}=1040\\ \mathrm{kg/m^3}).
(d) Ao deixar cair livremente o transdutor (esfera) no mar há um escoamento com número de Reynolds tão baixo quanto \mathrm{Re}=0{,}8 e a velocidade é constante (velocidade terminal). Estimar a massa específica (densidade) do transdutor.
(e) Pelo gráfico de coeficiente de arrasto C_D vs \mathrm{Re} para esferas, qual a relação do coeficiente de arrasto com a esteira de vórtices no bordo de fuga?
(f) Como a rugosidade da superfície influenciaria esse gráfico?
Dados e constantes relevantes (peguei estes do enunciado):
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Protótipo: D_p=0{,}5\\ \mathrm{m}, U_p=2{,}8\\ \mathrm{m/s}, \nu_{\text{água}}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}á, \rho_{\text{mar}}=1040\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Modelo (túnel de vento): D_m=0{,}150\\ \mathrm{m}, \nu_{\text{ar}}=1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, \rho_{\text{ar}}=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Força de arrasto medida no modelo: F_m=2{,}8\\ \mathrm{N}.
A partir daqui passo a passo resolvo cada item, explicando a teoria necessária.

Passo 2

(a) Aplicando o Teorema \pi de Buckingham — escolha das variáveis físicas relevantes.
Variáveis que influenciam o arrasto sobre uma esfera lisa em escoamento uniforme (considerando possibilidade de influência da gravidade):
  • Força de arrasto: F_D \quad (dimensão: M L T^{-2})
  • Densidade do fluido: \rho \quad (dimensão: M L^{-3})
  • Velocidade característica do escoamento: U \quad (dimensão: L T^{-1})
  • Comprimento característico (diâmetro da esfera): D \quad (dimensão: L)
  • Viscosidade cinemática do fluido: \nu \quad (dimensão: L^2 T^{-1})
  • Aceleração da gravidade (caso influente, por exemplo para efeitos de superfície livre ou queda): g \quad (dimensão: L T^{-2})
Temos n=6 variáveis independentes e r=3 dimensões fundamentais ( M,L,T), logo o número de grupos adimensionais será n-r=3. Escolho como variáveis repetidas \rho,\\ U,\\ D (opção usual quando há fluido, velocidade e dimensão).
Construção dos \pi-grupos:
  • Primeiro grupo, relacionado ao arrasto (forma do coeficiente de arrasto): tomo
\pi_1=\frac{F_D}{\rho U^2 D^2}.
Este \pi_1 é proporcional ao coeficiente de arrasto convencional; na prática define-se o coeficiente de arrasto como
C_D=\frac{F_D}{\tfrac{1}{2}\rho U^2 A} \quad\text{com}\quad A=\frac{\pi D^2}{4},
que difere de \pi_1 apenas por uma constante geométrica. Ou seja, \pi_1 e C_D carregam a mesma informação adimensional sobre o arrasto.
  • Segundo grupo, envolvendo a viscosidade:
\pi_2=\frac{\nu}{U D}=\frac{1}{\mathrm{Re}},
onde o número de Reynolds é \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{U D}{\nu}. O \mathrm{Re} mede a razão entre forças inerciais e viscosas; controla regimes de escoamento (laminar, transição, turbulento) e influencia muito C_D.
  • Terceiro grupo, incluindo a gravidade (quando ela é relevante):
\pi_3=\frac{g D}{U^2}=\frac{1}{\mathrm{Fr}^2},
onde \mathrm{Fr}=\dfrac{U}{\sqrt{gD}} é o número de Froude, que aparece quando efeitos de gravidade (ex.: superfície livre, ondas, queda) são importantes.
Conclusão do passo:
Um conjunto adequado de grupos adimensionais para correlacionar dados experimentais é, por exemplo,
C_D\quad\text{(ou }\pi_1=\tfrac{F_D}{\rho U^2 D^2}\text{)},\qquad \mathrm{Re}=\tfrac{U D}{\nu},\qquad \mathrm{Fr}=\tfrac{U}{\sqrt{gD}}.
Se o escoamento não envolve superfície livre nem efeitos gravitacionais relevantes, a correlação reduz-se tipicamente a C_D=f(\mathrm{Re}). Se houver queda livre ou efeitos provocados por g, então C_D=f(\mathrm{Re},\mathrm{Fr}) ou usar \pi_3 como gD/U^2.

Passo 3

(b) Determinar a velocidade de teste no ar para que o modelo no túnel tenha o mesmo \mathrm{Re} que o protótipo na água.
Estratégia (teoria curta): para similaridade dinâmica de arrasto em geometria semelhante, é necessário igualar o número de Reynolds entre protótipo e modelo:
\mathrm{Re}_p=\mathrm{Re}_m.
Onde \displaystyle \mathrm{Re}_p=\frac{U_p D_p}{\nu_{\text{água}}}á e \displaystyle \mathrm{Re}_m=\frac{U_m D_m}{\nu_{\text{ar}}}. Logo:
U_m = \frac{\mathrm{Re}_p\,\nu_{\text{ar}}}{D_m}.
Cálculo numérico:
Primeiro calcule \mathrm{Re}_p:
\mathrm{Re}_p=\frac{U_p D_p}{\nu_{\text{água}}}=\frac{2{,}8\cdot 0{,}5}{1{,}0\times10^{-6}}=\frac{1{,}4}{1\times10^{-6}}=1{,}4\times10^{6}.á
Agora:
U_m=\frac{1{,}4\times10^{6}\cdot 1{,}5\times10^{-5}}{0{,}150}.
Calcule por passos:
1{,}4\times10^{6}\cdot 1{,}5\times10^{-5}=21{,}0,
U_m=\frac{21{,}0}{0{,}150}=140\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a velocidade requerida no túnel de vento é bastante alta ( U_m\approx140\\ \mathrm{m/s}), porque o ar tem viscosidade cinemática muito maior que a água e o modelo é menor.

Passo 4

(c) Estimar a força de arrasto no protótipo a partir da medição no modelo no túnel de vento.
Teoria e hipótese: para geometria similar e mesma \mathrm{Re}, o coeficiente de arrasto C_D é o mesmo para modelo e protótipo (assumindo superfície lisa, sem efeitos de compressibilidade, e mesmo regime de fluxo). Assim:
C_{D,m}=C_{D,p} \quad\Rightarrow\quad \frac{F_m}{\tfrac{1}{2}\rho_m U_m^2 A_m}=\frac{F_p}{\tfrac{1}{2}\rho_p U_p^2 A_p}.
Isto implica a relação direta de escala:
F_p = F_m\cdot\frac{\rho_p U_p^2 A_p}{\rho_m U_m^2 A_m}.
Aqui A=\dfrac{\pi D^2}{4} é a área de referência para a esfera.
Cálculo numérico:
Áreas:
A_m=\frac{\pi D_m^2}{4}=\frac{\pi (0{,}150)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}005625\approx 0{,}01767\\ \mathrm{m^2},
A_p=\frac{\pi D_p^2}{4}=\frac{\pi (0{,}5)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0625\approx 0{,}19635\\ \mathrm{m^2}.
Agora calcular o fator de escala:
\frac{\rho_p U_p^2 A_p}{\rho_m U_m^2 A_m} = \frac{1040\cdot(2{,}8)^2\cdot 0{,}19635}{1{,}23\cdot(140)^2\cdot 0{,}01767}.
Faço as contas:
(2{,}8)^2=7{,}84,\qquad (140)^2=19600.
Numerador:
1040\cdot7{,}84\cdot0{,}19635\approx 1{,}600{,}95\quad(\text{aprox.}).
Denominador:
1{,}23\cdot19600\cdot0{,}01767\approx 425{,}97\quad(\text{aprox.}).
Razão:
\frac{\rho_p U_p^2 A_p}{\rho_m U_m^2 A_m}\approx\frac{1600{,}95}{425{,}97}\approx 3{,}76.
Portanto:
F_p \approx 2{,}8\\ \mathrm{N}\times 3{,}76 \approx 10{,}5\\ \mathrm{N}.
Observação didática: isso vem do fato de que F escala com \rho U^2 A quando C_D é o mesmo.

Passo 5

(d) Estimar a massa específica (densidade) do transdutor supondo queda livre com velocidade terminal e \mathrm{Re}=0{,}8.
Entendimento físico e modelo teórico:
  • Quando a esfera cai com velocidade terminal U_t em um fluido, as forças verticais se equilibram:
\text{peso} - \text{empuxo} - \text{arrasto} = 0.
Ou seja,
(\rho_s V) g - (\rho_{\text{água}} V) g - F_D = 0 \quad\Rightarrow\quad (\rho_s-\rho_{\text{água}})V g = F_D,áá
onde \rho_s é a densidade do sólido (transdutor), V é o volume da esfera, g a gravidade, e F_D o arrasto ao regime terminal.
  • Para número de Reynolds muito baixo (fluxo de Stokes, \mathrm{Re}\ll1), a força de arrasto é dada pela lei de Stokes:
F_D = 3\pi \mu D U_t,
onde \mu é a viscosidade dinâmica do fluido e \mu=\rho_{\text{água}}\nu_{\text{água}}áá. A lei de Stokes é uma boa aproximação quando \mathrm{Re} é menor que, digamos, 0{,}1; para \mathrm{Re}=0{,}8 ainda é uma aproximação razoavelmente utilizada com cautela — aceitaremos essa hipótese conforme o enunciado que destaca Re baixo.
Cálculo de U_t a partir de \mathrm{Re}:
U_t=\frac{\mathrm{Re}\,\nu_{\text{água}}}{D_p}=\frac{0{,}8\cdot 1{,}0\times10^{-6}}{0{,}5}=1{,}6\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}.á
Viscosidade dinâmica:
\mu=\rho_{\text{água}}\nu_{\text{água}}=1040\cdot 1{,}0\times10^{-6}=1{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.áá
Força de arrasto por Stokes:
F_D=3\pi\mu D_p U_t.
Substituindo:
F_D=3\pi\cdot(1{,}04\times10^{-3})\cdot 0{,}5\cdot(1{,}6\times10^{-6})\approx 7{,}84\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.
Volume da esfera:
V=\frac{\pi D_p^3}{6}=\frac{\pi (0{,}5)^3}{6}=\pi\cdot0{,}0208333\approx 0{,}06545\\ \mathrm{m^3}.
Agora a equação do equilíbrio:
(\rho_s-\rho_{\text{água}})V g = F_D \quad\Rightarrow\quad \rho_s = \rho_{\text{água}} + \frac{F_D}{V g}.áá
Substituindo os valores:
V g \approx 0{,}06545\cdot 9{,}81 \approx 0{,}6423\\ \mathrm{N\cdot s^2/m^4}\\ (\text{unidade numérica para denominar }F_D/(Vg)).é
\frac{F_D}{V g}\approx \frac{7{,}84\times10^{-9}}{0{,}6423}\approx 1{,}22\times10^{-8}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Portanto:
\rho_s \approx 1040 + 1{,}22\times10^{-8}\approx 1040{,}000000012\\ \mathrm{kg/m^3}.
Interpretação física: o valor calculado é praticamente igual à densidade da água, ou seja, para uma velocidade terminal tão pequena (Re muito baixo) o arrasto necessário para equilibrar a leve diferença de peso é extremamente pequeno. Na prática, isso indica que, para tal velocidade terminal, o corpo é quase neutro em densidade com a água. Também é importante observar que a hipótese de Stokes aplicada em \mathrm{Re}=0{,}8 fornece um valor indicativo; para estimativas precisas em Re nessa ordem, seria melhor usar correções experimentais à lei de Stokes ou a curva C_D(\mathrm{Re}) para esferas.

Passo 6

(e) Relação do coeficiente de arrasto C_D com a esteira de vórtices no bordo de fuga (explicação didática).
Conceitos-chave:
  • O arrasto total F_D tem duas contribuições principais: arrasto de pressão (ou forma) e arrasto viscoso (de fricção). Para uma esfera em escoamento externo, o arrasto de pressão (associado à separação e à região de baixa pressão atrás da esfera — a esteira) domina na maioria das faixas de \mathrm{Re}.
  • À medida que \mathrm{Re} aumenta a partir de valores muito pequenos, o escoamento passa por regimes distintos: escoamento viscoso/laminar (Stokes), início de separação, aparecimento de vórtices e, em faixas mais altas, oscilação e desprendimento de vórtices (vortex shedding), e posteriormente transição da camada limite para turbulenta (que desloca o ponto de separação para trás e reduz o tamanho da esteira).
Relação qualitativa:
  • Em regimes onde a separação é forte e a esteira de vórtices é grande e estável, há uma grande região de baixa pressão a jusante e, consequentemente, C_D é alto.
  • Quando a camada limite se torna turbulenta (em números de Reynolds suficientemente altos) a separação é retardada (o ponto de separação desloca-se para trás), a esteira diminui, e o coeficiente de arrasto cai significativamente — este fenômeno é conhecido como drag crisis (queda abrupta de C_D) para esferas em torno de \mathrm{Re} na ordem de 10^5 (o valor exato depende de rugosidade).
  • A formação e desprendimento de vórtices (vortex shedding) estão associados a forças oscilantes e a um comportamento não estacionário do escoamento; esse fenômeno pode aumentar a componente de arrasto de pressão e provocar flutuações de C_D em torno de um valor médio.
Resumo curto e amigável: o tamanho e intensidade da esteira de vórtices controlam a pressão a montante e, portanto, o C_D. Mais vórtices grandes e uma esteira volumosa = maior C_D; reduzir a esteira (por exemplo, via transição turbulenta da camada limite) reduz o C_D.

Passo 7

(f) Influência da rugosidade na superfície no gráfico C_D vs \mathrm{Re}.
Explicação física e efeitos:
  • A rugosidade tende a provocar transição da camada limite laminar para turbulenta mais precocemente (ou seja, em valores menores de \mathrm{Re}) porque perturbações crescem mais rápido em uma superfície rugosa.
  • Consequências no gráfico C_D(\mathrm{Re}) para uma esfera:
    • Em baixas \mathrm{Re}: adicionar rugosidade geralmente aumenta o arrasto, porque aumenta a resistência de fricção superficial e rompe a suavidade do escoamento laminar.
    • Em faixas de \mathrm{Re} próximas ao drag crisis da esfera, a rugosidade pode antecipar a transição para camada limite turbulenta, deslocando para menores \mathrm{Re} a queda brusca do C_D. Ou seja, a presença de rugosidade pode diminuir o C_D em intervalos de \mathrm{Re} que, para uma esfera lisa, ainda estariam antes do drag crisis.
    • Em grandes \mathrm{Re} pós-crise, o efeito da rugosidade pode ser menor ou complexo dependendo do tipo/altura da rugosidade.
Intuição prática: rugosidade é um “truque” que pode reduzir o arrasto em altas velocidades (por antecipar a transição e diminuir a esteira), mas normalmente penaliza em baixas velocidades. Por isso, designers às vezes introduzem pequenas rugosidades estrategicamente para melhorar comportamento aerodinâmico/hidrodinâmico em regimes altos.

Resposta

(a) Um conjunto conveniente de grupos adimensionais é
C_D=\dfrac{F_D}{\tfrac{1}{2}\rho U^2 A} (ou \pi_1=\dfrac{F_D}{\rho U^2 D^2}), \mathrm{Re}=\dfrac{U D}{\nu} e \mathrm{Fr}=\dfrac{U}{\sqrt{gD}} (ou \pi_3=\dfrac{gD}{U^2}).
(b) U_{\text{modelo}}\approx 140\\ \mathrm{m/s}.
(c) F_{\text{protótipo}}\approx 10{,}5\\ \mathrm{N}.ó
(d) \rho_{\text{transdutor}}\approx 1040{,}000000012\\ \mathrm{kg/m^3} (aproximadamente 1040\\ \mathrm{kg/m^3}).
(e) O coeficiente de arrasto C_D aumenta quando a esteira de vórtices atrás da esfera é grande (maior separação e baixa pressão a jusante); quando a camada limite se torna turbulenta e a separação atrasa, a esteira diminui e C_D sofre uma queda (drag crisis).
(f) A rugosidade tende a antecipar a transição da camada limite para turbulenta: isso pode aumentar o arrasto em baixas \mathrm{Re}, mas pode reduzir C_D em faixas maiores de \mathrm{Re} ao deslocar para valores menores a queda brusca do C_D (antecipação do drag crisis).

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