Uma estaca de seção quadrada 152 \mathrm{~mm} \times 152 \mathrm{~mm} é atingida por um escoamento de água a 1,52 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com profundidade de 6,1 \mathrm{~m}, como mostra a figura.
Considere: massa específica =1,025 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; viscosidade cinemática =1,02 \times 10^{-6} ; \mathrm{C}_{\mathrm{A}}=2.1.
Calcule:
(a) O número de Reynolds do escoamento. (1,0 pts).
(b) A força de arrasto. ( \mathbf{1 , 0} pts).
(c) O momento fletor exercido pelo escoamento na base da estaca (1,0 pts)
(d) Considerando que a estaca possua uma seção circular (cilindro), como você acha que se comportaria o arrasto a medida que o número de Reynolds fosse aumentando? (1,0 pts)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade do escoamento: U=1,52\\ \mathrm{m/s} (peguei este valor da figura).
    • Altura/profundidade da água (comprimento da estaca submersa): L=6,1\\ \mathrm{m} (peguei este valor da figura).
    • Largura da seção quadrada da estaca: h=152\\ \mathrm{mm}=0,152\\ \mathrm{m} (peguei este valor da figura).
    • Massa específica da água: \rho=1,025\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Viscosidade cinemática: \nu=1,02\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
    • Coeficiente de arrasto fornecido: C_{A}=2{,}1.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular o número de Reynolds do escoamento.
    (b) Calcular a força de arrasto sobre a estaca.
    (c) Calcular o momento fletor na base da estaca devido ao arrasto.
    (d) Para uma estaca com seção circular (cilindro), descrever qualitativamente como o arrasto se comporta à medida que o número de Reynolds aumenta.

Passo 2

Cálculo do número de Reynolds. Primeiro explico a fórmula e o significado das variáveis:
\text{Re}=\frac{U L_c}{\nu},
onde \text{Re} é o número de Reynolds (adimensional), U é a velocidade característica do escoamento, L_c é o comprimento característico do corpo (no caso de um corpo com dimensão transversal h usa-se L_c=h) e \nu é a viscosidade cinemática do fluido. O número de Reynolds indica a razão entre forças inerciais e viscosas; valores grandes significam regime dominado por inércia (turbulento), valores pequenos por viscosidade (laminar).
Aqui escolhemos L_c=h=0,152\\ \mathrm{m}. Substituindo:
\text{Re}=\frac{(1,52)\,(0,152)}{1{,}02\times10^{-6}}.
Calcule passo a passo:
1{,}52\times0{,}152 = 0{,}23104,
\text{Re}=\frac{0{,}23104}{1{,}02\times10^{-6}} \approx 2{,}26\times10^{5}.

Passo 3

Cálculo da força de arrasto. Apresento a fórmula e explico variáveis:
F_D=\tfrac{1}{2}\,\rho\,C_D\,A\,U^{2},
onde F_D é a força de arrasto (N), \rho é a massa específica (kg/m³), C_D é o coeficiente de arrasto adimensional (aqui dado como C_{A}=2{,}1), A é a área projetada perpendicular ao fluxo (m²) e U é a velocidade (m/s).
Para uma estaca com seção quadrada de lado h e altura submersa L, a área projetada perpendicular ao escoamento é:
A = h\cdot L.
Calcule A:
A = 0{,}152\\ \mathrm{m}\times 6{,}1\\ \mathrm{m} = 0{,}9272\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcule U^{2}:
U^{2} = (1{,}52)^{2} = 2{,}3104\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
Agora substituindo na fórmula do arrasto:
F_D=\tfrac{1}{2}\times 1{,}025\times 2{,}1 \times 0{,}9272 \times 2{,}3104.
Faço as multiplicações em etapas:
\tfrac{1}{2}\rho C_D = 0{,}5\times 1{,}025\times 2{,}1 = 1{,}07625,
A U^{2} = 0{,}9272\times 2{,}3104 = 2{,}14136,
F_D = 1{,}07625\times 2{,}14136 \approx 2{,}3046\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
Portanto F_D \approx 2{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{N} (aproximadamente 2305\\ \mathrm{N}).

Passo 4

Cálculo do momento fletor na base da estaca. Explico a posição de aplicação do arrasto:
A força resultante de arrasto sobre a área projetada pode ser considerada atuando no centróide da área projetada (para distribuição uniforme do arrasto ao longo da altura, que é a suposição usual aqui). O centróide de uma área retangular de altura L está a uma distância L/2 da base. Assim o momento fletor na base é:
M = F_D \times \frac{L}{2}.
Substituindo F_D e L:
\frac{L}{2} = \frac{6{,}1}{2} = 3{,}05\\ \mathrm{m},
M = 2{,}3046\times10^{3}\times 3{,}05 \approx 7{,}029\times10^{3}\\ \mathrm{N\,m}.
Portanto M \approx 7{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{N\,m} (aprox. 7030\\ \mathrm{N\,m}).

Passo 5

Comportamento do arrasto para uma seção circular (cilindro) quando o número de Reynolds aumenta — explicação didática e qualitativa.
  • O coeficiente de arrasto C_D de um cilindro depende fortemente de \text{Re}. Em regimes de muito baixo \text{Re} (fluxo laminar muito viscoso) o arrasto é dominado pela viscosidade e C_D é alto.
  • À medida que \text{Re} aumenta, geralmente C_D decresce porque as forças viscosas relativas diminuem em relação às inerciais.
  • Para cilindros existe um comportamento característico chamado “drag crisis”: por volta de \text{Re}\sim10^{5} 10^{6} a camada limite que se forma na superfície do cilindro muda de laminar para turbulenta, o que desloca a região de separação para trás e reduz significativamente C_D. Ou seja, ao cruzar essa faixa de \text{Re} ocorre uma queda abrupta do arrasto.
  • Para valores de \text{Re} maiores que a faixa do drag crisis, C_D tende a um valor relativamente menor e varia mais suavemente.
  • Conclusão curta: ao aumentar \text{Re} para um cilindro, o arrasto (ou C_D) primeiro diminui de forma contínua e, ao atingir a faixa crítica, pode sofrer uma queda brusca (drag crisis) antes de se estabilizar em valores menores. Observação prática: o \text{Re} calculado para a estaca quadrada neste problema ( \sim2{,}26\times10^{5}) está próximo da faixa onde fenômenos de transição da camada limite e mudança no arrasto podem ocorrer.

Resposta

(a) \text{Re}\approx 2{,}26\times10^{5}.
(b) F_{D}\approx 2{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
(c) M\approx 7{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{N\,m}.
(d) Para um cilindro, ao aumentar \text{Re} o coeficiente de arrasto tende a diminuir; ao atravessar a faixa crítica (drag crisis, cerca de 10^{5} 10^{6}) ocorre uma queda brusca de C_D devido à transição da camada limite, reduzindo fortemente o arrasto, depois estabiliza em valores menores.

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