A águia dourada ou águia-real é uma ave de rapina que atinge uma velocidade de 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Suas asas, em média, possuem 1,5 \mathrm{~m} de envergadura e 0,5 \mathrm{~m} de corda. Sabendo que o escoamento pode ser considerado em uma placa plana, utilizando aceleração da gravidade =9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}; massa específica do ar =1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; viscosidade cinemática do ar =10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, obtenha:
a força de arrasto na ave, supondo camada limite turbulenta a partir do bordo de ataque;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Velocidade de voo: \,50\\ \mathrm{km/h}.
  • Envergadura (span): \,1,5\\ \mathrm{m}.
  • Corda média (chord): \,0,5\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: \,9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} (não será necessária para o arrasto, mas foi dada).
  • Massa específica do ar: \,\rho=1,23\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade cinemática do ar: \,\nu=10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
O que o enunciado pede:
  • Obter a força de arrasto na ave, supondo camada limite turbulenta a partir do bordo de ataque (isto é, fluxo turbulento já desde o início da corda).
Observação prática extra (pega-se do enunciado): a placa plana é uma aproximação para as asas; a área de referência que usarei é a área planform total das asas, que, com a envergadura e a corda médias dadas, será \,S = \text{envergadura}\times\text{corda}.

Passo 2

Converter unidades e escolher comprimento de referência.
  • Converter a velocidade para \mathrm{m/s}:
U=\frac{50}{3,6}=13,888\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx 13,89\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimento de referência para o número de Reynolds numa asa retangular costuma ser a corda média; vou usar \,L=c=0,5\\ \mathrm{m}.
  • Área planform (retangular aproximado) extraída dos dados do enunciado:
S = (\text{envergadura})\times(\text{corda}) = 1,5\times 0,5 = 0,75\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e interpretar.
O número de Reynolds é a razão entre efeitos inerciais e viscosos e é dado por
\mathrm{Re}=\frac{U L}{\nu},
onde \,U é a velocidade de referência, \,L é o comprimento característico (aqui a corda) e \,\nu é a viscosidade cinemática.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{13,888\ldots \times 0,5}{10^{-5}}=\frac{6,94444\ldots}{10^{-5}}=6,94444\ldots\times10^{5}\approx 6,94\times10^{5}.
Esse valor está na faixa típica em que a fórmula empírica para camada limite turbulenta sobre placa plana é válida (ordem de 10^{5} a 10^{7}), então a hipótese turbulenta desde o bordo de ataque é consistente.

Passo 4

Apresentar a fórmula para o coeficiente de atrito de superfície (skin-friction) para camada limite turbulenta sobre placa plana a partir do bordo de ataque e explicar.
Para camada limite totalmente turbulenta desenvolvida desde o bordo de ataque, uma correlação clássica empírica (Prandtl–Schlichting) para o coeficiente de atrito médio na superfície é
C_{f}=0,074\,\mathrm{Re}^{-1/5}.
Explicando: \,C_{f} é adimensional e relaciona a tensão de cisalhamento média na superfície com a pressão dinâmica. Essa correlação dá o coeficiente de atrito por unidade de área para placas com escoamento turbulento e é válida em uma faixa de \mathrm{Re} semelhante à que calculamos.

Passo 5

Calcular numericamente C_{f}.
Partindo de \mathrm{Re}\approx 6,94444\times10^{5}, temos
\mathrm{Re}^{1/5}=\exp\!\bigg(\tfrac{1}{5}\ln(\mathrm{Re})\bigg)
(eu mostro o valor final direto)
\mathrm{Re}^{-1/5}\approx 0,06776,
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C_{f}=0,074\times 0,06776\approx 0,00501.
Interpretação simples: em média a tensão de cisalhamento na asa corresponde a um coeficiente de atrito da ordem de 5\times10^{-3}.

Passo 6

Calcular a pressão dinâmica e explicar como obter a força de arrasto por atrito.
A pressão dinâmica é
q=\tfrac{1}{2}\,\rho U^{2}.
Substituindo os valores:
q=\tfrac{1}{2}\times 1,23\times (13,888\ldots)^{2}\approx 118,69\\ \mathrm{Pa}.
O arrasto devido ao atrito de pele (skin-friction drag) sobre a área planform S é dado por
D = C_{f}\,q\,S,
porque C_{f}q tem dimensão de tensão (força por área) e multiplicando por S obtemos força.

Passo 7

Substituir os números e calcular a força de arrasto.
Usando os valores calculados:
D \approx 0,0050129 \times 118,69 \times 0,75 \\ \mathrm{N}.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
0,0050129\times 118,69 \approx 0,5947\\ \mathrm{Pa},
D \approx 0,5947\times 0,75 \approx 0,4460\\ \mathrm{N}.
Portanto, o arrasto de pele estimado pela aproximação de placa plana com camada limite turbulenta desde o bordo de ataque é da ordem de algumas décimas de newton.

Passo 8

Comentários finais e interpretação física (breve e motivadora).
  • Esse valor \,D\approx 0,45\\ \mathrm{N} é só o arrasto por atrito de pele na aproximação de placa plana. Em aves reais existem outros contributos (arrasto de forma, arrasto induzido pelas forças aerodinâmicas de sustentação, fluxo tridimensional, rugosidade das penas, turbulência ao redor do corpo, etc.), que podem aumentar (ou em parte diminuir) o arrasto total.
  • Mesmo assim, este cálculo mostra que, numa aproximação simples, a resistência por atrito é pequena (menos de 1\\ \mathrm{N}) a essa velocidade — o que faz sentido para uma ave leve e aerodinâmica. Força de sustentação e arrasto induzido costumam ser importantes também na análise completa, mas o enunciado pediu especificamente a hipótese de placa plana com BL turbulenta, que é o que fizemos.
  • Vai bem! Se quiser, posso agora estimar o arrasto total incluindo coeficiente de forma aproximado ou calcular potência necessária para vencer esse arrasto àquela velocidade — o que também costuma cair em provas.

Resposta

\displaystyle D\approx0,446\\ \mathrm{N}

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