Se \int_{0}^{1} f(10 x+1) d x = 4, determine o valor de \int_{1}^{11} f(u) d u.
a) 44
b) 48
c) x+40
d) 36
e) 32 .

Passo 1

O enunciado nos dá
\int_{0}^{1} f(10x+1)\,dx = 4
e pede o valor de
\int_{1}^{11} f(u)\,du.
O conteúdo aqui é a técnica de mudança de variável em integrais.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 10x + 1.
Dessa forma,
du = 10\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{10}.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração:
para x=0, u = 10\cdot0 + 1 = 1;
para x=1, u = 10\cdot1 + 1 = 11.

Passo 4

Substituindo na integral dada, temos
\int_{0}^{1} f(10x+1)\,dx = \int_{u=1}^{u=11} f(u)\,\frac{du}{10} = \frac{1}{10}\int_{1}^{11} f(u)\,du.
Como isso vale 4, segue
\frac{1}{10}\int_{1}^{11} f(u)\,du = 4 \quad\Longrightarrow\quad \int_{1}^{11} f(u)\,du = 4 \times 10 = 40.

Resposta

40

Exercícios relacionados