Seja S a área delimitada pelas curvas y=x^{2}-10^{2} e y=10^{2}-x^{2}. Determine o valor de \frac{3 S}{80}
a) 1100
b) 2100
c) 8,100
d) 4100
e) 5100 .

Passo 1

O enunciado pede a área S delimitada pelas curvas
y = x^2 - 10^2
e
y = 10^2 - x^2
e então o valor de \tfrac{3S}{80}.
O conteúdo usado será cálculo de áreas entre duas curvas via integrais.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^2 - 100 = 100 - x^2
2x^2 = 200 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 100 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 10.

Passo 3

Entre x=-10 e x=10, a curva superior é y_{\text{sup}}=100 - x^2 e a inferior é y_{\text{inf}}=x^2 - 100.
Logo
S = \int_{-10}^{10}\bigl[(100 - x^2)-(x^2 - 100)\bigr]\,dx = \int_{-10}^{10}(200 - 2x^2)\,dx.

Passo 4

Calculando a integral:
\int_{-10}^{10}(200 - 2x^2)\,dx = 200\cdot(10 - (-10)) \;-\;2\int_{-10}^{10}x^2\,dx = 200\cdot20 \;-\;2\cdot\frac{2\cdot10^3}{3} = 4000 - \frac{4000}{3} = \frac{8000}{3}.
Portanto
S = \frac{8000}{3}.

Passo 5

Agora basta calcular
\frac{3S}{80} = \frac{3\cdot\frac{8000}{3}}{80} = \frac{8000}{80} = 100.

Resposta

100

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