\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}(2+x+y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}(2+x+y)\,dy\,dx.
Informações relevantes dadas:
\text{limites: }x\in[0,3],\; y\in[0,2];
\text{integrando: }2+x+y.
A integral está escrita como uma iterada: primeiro integra-se em y (de 0 a 2) mantendo x constante, depois integra-se o resultado em x (de 0 a 3).

Passo 2

Vamos integrar primeiro em y. Repare que o integrando é a soma de três termos: 2, x e y. Pela linearidade da integral, podemos integrar termo a termo. Ao integrar em y, x é tratado como constante. Usamos as fórmulas básicas:
\int a\,dy = a\,y \quad\text{(se \(a\) é constante em relação a \(y\))},éçã
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Aplicando isso ao integrando 2+x+y obtemos uma antiderivada em y:
\int (2+x+y)\,dy = \int 2\,dy + \int x\,dy + \int y\,dy = 2y + xy + \frac{y^{2}}{2}.

Passo 3

Agora avaliamos essa antiderivada no intervalo y=0 até y=2:
\left[2y + xy + \frac{y^{2}}{2}\right]_{y=0}^{y=2}.
Substituindo y=2:
2\cdot 2 + x\cdot 2 + \frac{2^{2}}{2} = 4 + 2x + \frac{4}{2} = 4 + 2x + 2 = 6 + 2x.
Substituindo y=0 0. Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{2}(2+x+y)\,dy = 6 + 2x.

Passo 4

Agora temos que calcular a integral simples em x:
\int_{0}^{3} (6+2x)\,dx.
Novamente usamos linearidade e a regra de potência:
\int 6\,dx = 6x,\qquad \int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}.
Logo uma antiderivada é 6x + x^{2}.

Passo 5

Avaliamos essa antiderivada no intervalo x=0 a x=3:
\left[6x + x^{2}\right]_{0}^{3} = (6\cdot 3 + 3^{2}) - (6\cdot 0 + 0^{2}).
Calcule passo a passo:
6\cdot 3 = 18,\qquad 3^{2}=9,
18+9=27.
Portanto o valor da integral dupla é 27.

Resposta

27

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