\int_{0}^{1} \int_{0}^{3}(5+2 x-y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{3}\bigl(5+2x-y\bigr)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \,5+2x-y\,.
  • A integração interna é em y com limites y=0 até y=3.
  • A integração externa é em x com limites x=0 até x=1.
  • A região de integração é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le3\}.

Passo 2

Estratégia (curta e direta): vamos calcular primeiro a integral interna em y, tratando x como constante, e depois integrar o resultado em x. Antes de calcular, lembrando duas regras fundamentais que usaremos:
  • Linearidade da integral: \displaystyle\int\bigl(a(x)+b(x)\bigr)\,dy=\int a(x)\,dy+\int b(x)\,dy.
  • Regras básicas de antiderivação: para constante c em relação a y, \displaystyle\int c\,dy = c\,y; para potência, \displaystyle\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
    Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle\int_{0}^{3}\bigl(5+2x-y\bigr)\,dy. Tratamos x como constante ao integrar em y.
Usando linearidade,
\int_{0}^{3}\bigl(5+2x-y\bigr)\,dy = \int_{0}^{3}(5+2x)\,dy-\int_{0}^{3}y\,dy.
Agora as antiderivadas:
\int (5+2x)\,dy=(5+2x)\,y, \qquad \int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}.
Aplicando os limites 0 a 3:
\int_{0}^{3}\bigl(5+2x-y\bigr)\,dy = \bigl[(5+2x)\,y-\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{3}.

Passo 4

Avaliar em y=3 e subtrair em y=0:
\bigl[(5+2x)\cdot 3-\tfrac{3^{2}}{2}\bigr]-\bigl[(5+2x)\cdot 0-\tfrac{0^{2}}{2}\bigr] = 3(5+2x)-\tfrac{9}{2}.
Simplificando numericamente:
3(5+2x)-\tfrac{9}{2}=15+6x-\tfrac{9}{2}.
Colocando em uma única fração:
15-\tfrac{9}{2}= \tfrac{30}{2}-\tfrac{9}{2}=\tfrac{21}{2},
portanto o resultado da integral interna é
\int_{0}^{3}\bigl(5+2x-y\bigr)\,dy=\tfrac{21}{2}+6x.

Passo 5

Agora integramos o resultado em x:
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{21}{2}+6x\Bigr)\,dx.
De novo usando linearidade e as regras de antiderivação:
\int \tfrac{21}{2}\,dx=\tfrac{21}{2}\,x, \qquad \int 6x\,dx=6\cdot\tfrac{x^{2}}{2}=3x^{2}.
Assim a primitiva é \tfrac{21}{2}\,x+3x^{2}. Vamos avaliar de 0 a 1.

Passo 6

Avaliar em x=1 e subtrair em x=0:
\Bigl(\tfrac{21}{2}\cdot 1+3\cdot 1^{2}\Bigr)-\Bigl(\tfrac{21}{2}\cdot 0+3\cdot 0^{2}\Bigr) = \tfrac{21}{2}+3.
Escrevendo 3 como fração com denominador 2:
3=\tfrac{6}{2},
logo
\tfrac{21}{2}+\tfrac{6}{2}=\tfrac{27}{2}.
Em decimal isso é \,13{,}5.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): inverter a ordem de integração dá o mesmo resultado porque a região é um retângulo. Integrando primeiro em x:
\int_{0}^{1}\bigl(5+2x-y\bigr)\,dx =(5-y)\cdot 1 +\int_{0}^{1}2x\,dx=5-y+1=6-y,
depois \displaystyle\int_{0}^{3}(6-y)\,dy=6\cdot3-\tfrac{9}{2}=\tfrac{27}{2}. Confere com o cálculo anterior.

Passo 8

Dica para a prova: em integrais iteradas sobre retângulos, é sempre mais simples integrar primeiro a variável que aparece de forma mais simples (aqui y apareceu só linear). Lembre-se de tratar a outra variável como constante e de simplificar frações passo a passo para evitar erros aritméticos. Você tá indo bem — respira, faz calmamente os passos e confere com uma verificação rápida como a que fizemos.

Resposta

\tfrac{27}{2}

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