Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A integração interna é em
com limites até . - A integração externa é em
com limites até . - A região de integração é o retângulo
.
Passo 2
Estratégia (curta e direta): vamos calcular primeiro a integral interna em
, tratando
como constante, e depois integrar o resultado em
. Antes de calcular, lembrando duas regras fundamentais que usaremos:
- Linearidade da integral:
. - Regras básicas de antiderivação: para constante
em relação a , ; para potência, .
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular a integral interna
. Tratamos
como constante ao integrar em
.
Usando linearidade,
Usando linearidade,
Agora as antiderivadas:
Aplicando os limites
a
:
Passo 4
Avaliar em
e subtrair em
:
Simplificando numericamente:
Colocando em uma única fração:
portanto o resultado da integral interna é
Passo 5
Agora integramos o resultado em
:
De novo usando linearidade e as regras de antiderivação:
Assim a primitiva é
. Vamos avaliar de
a
.
Passo 6
Avaliar em
e subtrair em
:
Escrevendo
como fração com denominador
:
logo
Em decimal isso é
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): inverter a ordem de integração dá o mesmo resultado porque a região é um retângulo. Integrando primeiro em
:
depois
. Confere com o cálculo anterior.
Passo 8
Dica para a prova: em integrais iteradas sobre retângulos, é sempre mais simples integrar primeiro a variável que aparece de forma mais simples (aqui
apareceu só linear). Lembre-se de tratar a outra variável como constante e de simplificar frações passo a passo para evitar erros aritméticos. Você tá indo bem — respira, faz calmamente os passos e confere com uma verificação rápida como a que fizemos.