\int_{0}^{2} \int_{0}^{1}(1+2 x+2 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2} \int_{0}^{1}(1+2 x+2 y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 1+2x+2y.
  • Os limites internos são y de 0 a 1 (integrar primeiro em y).
  • Os limites externos são x de 0 a 2 (integrar depois em x).
    Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Vamos integrar primeiro em y, tratamos x como constante nessa integração interna. Em termos práticos, definimos
F(x)=\int_{0}^{1}(1+2x+2y)\,dy,
e depois calculamos \int_{0}^{2}F(x)\,dx.

Passo 3

Calculemos a primitiva (antiderivada) em relação a y termo a termo.
  • A primitiva de 1 em y é y, porque \dfrac{d}{dy}(y)=1.
  • A primitiva de 2x em y é 2x\,y, pois x é constante aqui e \dfrac{d}{dy}(2x\,y)=2x.
  • A primitiva de 2y em y é 2\cdot \dfrac{y^{2}}{2}=y^{2}, porque \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y.
    Somando, uma primitiva do integrando em y é
y+2x\,y+y^{2}.

Passo 4

Avaliamo-la entre y=0 e y=1:
  • Em y=1 temos 1+2x\cdot 1+1^{2}=1+2x+1=2+2x.
  • Em y=0 temos 0+2x\cdot 0+0^{2}=0.
    Logo
F(x)=\int_{0}^{1}(1+2x+2y)\,dy=2+2x.

Passo 5

Agora integramos F(x) em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2}(2+2x)\,dx.
Novamente, fazemos primitiva termo a termo:
  • A primitiva de 2 em x é 2x.
  • A primitiva de 2x em x é x^{2}.
    Assim uma primitiva é 2x+x^{2}.

Passo 6

Avalie 2x+x^{2} entre x=0 e x=2:
  • Em x=2: 2\cdot 2 + 2^{2} = 4 + 4 = 8.
  • Em x=0: 0 + 0 = 0.
    Logo a integral vale 8.

Resposta

8

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